Средняя линия треугольника

У каждого треугольника три средние линии. На чертеже середины сторон отмечают одинаковыми чёрточками.

Не путай среднюю линию с медианой:

• медиана идёт из вершины в середину противоположной стороны;
• средняя линия соединяет середины двух сторон.

Пусть $M$ середина стороны $AB$, а $N$ середина стороны $BC$.

Третья сторона это та, которой средняя линия не касается.

Продлим $MN$ за точку $N$ на такой же отрезок $NK$.

1. Треугольники $MBN$ и $KCN$ равны: $BN=NC$, $MN=NK$, а углы при $N$ вертикальные.
2. Значит, $CK=BM=AM$.
3. Из равенства треугольников углы при $B$ и $C$ равны. Это накрест лежащие углы, поэтому $CK\parallel AB$.
4. В четырёхугольнике $AMKC$ стороны $AM$ и $CK$ равны и параллельны. Это параллелограмм.
5. В параллелограмме $MK=AC$ и $MK\parallel AC$.
6. $MN$ половина $MK$, поэтому $MN$ равна половине $AC$.

Три средние линии образуют внутренний треугольник. Каждая его сторона вдвое короче стороны большого треугольника.

А ещё средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника: у всех четырёх стороны равны половинам сторон исходного.

Средняя линия отсекает один из четырёх равных треугольников.

Оставшаяся трапеция $AMNC$ состоит из трёх таких треугольников:

$S_{AMNC}=\frac{3}{4}{S}_{ABC}$

Запомни: сторону средняя линия делит пополам, а площадь нет. Площадь делится в отношении $1:3$.

Так можно найти середину стороны без линейки с делениями. Это частный случай теоремы Фалеса.

Почему так:

1. Диагональ делит четырёхугольник на два треугольника.
2. В каждом из них отрезок между серединами сторон является средней линией.
3. Обе средние линии параллельны этой диагонали и равны её половине.

Отсюда периметр такого параллелограмма равен сумме диагоналей.

У трапеции есть своя средняя линия: она соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований.