Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все четыре угла прямые, то есть равны $90^{\circ }$.

Поскольку прямоугольник является параллелограммом, он автоматически наследует все свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллельны и равны.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Дополнительное условие (все углы прямые) добавляет прямоугольнику особые черты, которых нет у общего параллелограмма.

У прямоугольника $ABCD$ со сторонами $a$ и $b$ выполняются следующие свойства.

1. Все углы равны $90^{\circ }$.
Если хоть один угол прямой, то из свойств параллелограмма вытекает, что все четыре угла прямые — это и есть критерий прямоугольника.

2. Диагонали равны.
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника равны: $AC=BD$. Это главное отличие прямоугольника от произвольного параллелограмма.

Почему так? Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DCB$: $AB=DC$ (противоположные стороны параллелограмма), $BC$ — общая сторона, $\angle ABC=\angle DCB=90^{\circ }$. По признаку равенства треугольников (два катета) $△ABC=△DCB$, откуда $AC=DB$.

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Это свойство унаследовано от параллелограмма: если $O$ — точка пересечения диагоналей, то $AO=OC$ и $BO=OD$.

4. Длина диагонали через стороны.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами:
$d=\sqrt{a^2+b^2}$,
где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, $d$ — диагональ.

Чтобы доказать, что данный параллелограмм является прямоугольником, достаточно проверить хотя бы один из признаков:

Почему? В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма соседних равна $180^{\circ }$. Если один угол равен $90^{\circ }$, то соседний тоже равен $180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$, и далее все четыре угла оказываются прямыми.

Этот признак удобен, когда углы неизвестны, но диагонали можно измерить или вычислить.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр — сумма всех четырёх сторон:
$P=2(a+b)$.

Площадь — произведение двух смежных сторон:
$S=a\cdot b$.

Эта формула площади следует из общего определения: прямоугольник можно разбить на единичные квадраты — их число как раз равно $a\cdot b$.

Связь диагонали и площади. Если известна диагональ $d$ и одна сторона $a$, вторую сторону находят по теореме Пифагора: $b=\sqrt{d^2-a^2}$, после чего $S=a\cdot b$.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все четыре стороны равны ($a=b$).

Все свойства прямоугольника выполняются и для квадрата, плюс добавляются свойства ромба (диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов).

Для квадрата со стороной $a$:

• Периметр: $P=4a$.
• Площадь: $S=a^2$.
• Диагональ: $d=a\sqrt{2}$.