Трапеция. Равнобедренная трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противоположных сторон параллельна.

Параллельные стороны называют основаниями трапеции, а две другие стороны — боковыми сторонами (или бёдрами).

Обозначения, принятые в задачах:

• $a$ — большее основание,
• $b$ — меньшее основание ($b<a$),
• $c$ и $d$ — боковые стороны,
• $h$ — высота: перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Если $MN$ — средняя линия, $a$ и $b$ — основания, то $MN\parallel a$, $MN\parallel b$ и $MN=\frac{a+b}{2}$.

Почему это так? Проведём диагональ трапеции. Она делит трапецию на два треугольника. В каждом треугольнике средняя линия параллельна основанию и равна его половине. Сложив эти половины, получаем формулу.

Средняя линия делит высоту трапеции пополам и делит трапецию на две трапеции с одинаковой высотой $\frac{h}{2}$.

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны: $c=d$.

Почему углы при основании равны? Опустим высоты $A{A}_1$ и $B{B}_1$ на большее основание. Прямоугольные треугольники $A{A}_{1}D$ и $B{B}_{1}C$ имеют равные гипотенузы ($AD=BC$ по условию) и равные катеты ($A{A}_1=B{B}_1=h$), значит, они равны, и $\angle D=\angle C$.

Площадь трапеции вычисляется через основания и высоту:

$S=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$

где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

Как запомнить: это та же формула «полусумма умножить на высоту». Заметьте: $\frac{a+b}{2}$ — это средняя линия $m$, поэтому формулу можно записать и так: $S=m\cdot h$.

Частный случай: если $b=0$, трапеция вырождается в треугольник, и формула даёт $S=\frac{a\cdot h}{2}$ — формулу площади треугольника. Это хорошая проверка здравым смыслом.