Площадь параллелограмма

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны.

Ключевые элементы, нужные для нахождения площади:

• Основание $a$ — любая из сторон параллелограмма, выбранная за «нижнюю».
• Высота $h$ — перпендикуляр, опущенный из любой точки противоположной стороны на прямую, содержащую основание.

Важно: высота — это именно перпендикуляр, а не боковая сторона. Боковая сторона $b$ совпадает с высотой только у прямоугольника, когда $b\perp a$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ с основанием $AB=a$ и высотой $BK=h$ (точка $K$ — основание перпендикуляра из $B$ на $AD$).

Отрежем от параллелограмма прямоугольный треугольник $ABK$ и перенесём его на другую сторону: получится прямоугольник с теми же основанием $a$ и высотой $h$.

Поскольку при таком переносе площадь не меняется, площадь параллелограмма равна площади получившегося прямоугольника:

$S=a\cdot h$

Этот приём — разрезание и перекладывание — доказывает, что любой параллелограмм равновелик прямоугольнику с теми же $a$ и $h$.

Высоту параллелограмма не всегда дают явно. Если известны две смежные стороны $a$ и $b$ и угол $\phi$ между ними, высоту можно выразить через синус.

Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $b$ и высотой $h$:

$h=b\cdot \sin \phi$

Подставляя в основную формулу:

$S=a\cdot b\cdot \sin \phi$

Когда применять: стороны и угол известны, а высота не указана. Особый случай: при $\phi =90^{\circ }$ получаем $\sin 90^{\circ }=1$, то есть $S=a\cdot b$ — формулу площади прямоугольника.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Поэтому:

$S_{△}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$

Это не отдельная формула, а следствие: площадь треугольника вдвое меньше площади параллелограмма с тем же основанием и высотой. Данный факт часто используется в задачах, где надо сравнивать площади фигур.