8 класс Геометрия 7 мин чтения

Площадь трапеции

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Проверь себя · 1 из 3

Основания трапеции равны

9

28

, а высота равна

13

. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Трапеция встречается повсюду — в кровлях домов, дорожных знаках, архитектурных деталях. Умение вычислить её площадь нужно и в строительстве, и в задачах на координаты.

S = (a + b) / 2 · h

Содержание 8

Что такое трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон. Параллельные стороны называются основаниями, непараллельные — боковыми сторонами.

Обозначения: основания — $a$ и $b$ , высота — $h$ (перпендикуляр между прямыми, содержащими основания).

Частные случаи трапеции:

Равнобедренная (равнобочная) — боковые стороны равны: $c = d$ .
Прямоугольная — одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Важно: у параллелограмма две пары параллельных сторон, поэтому параллелограмм трапецией не считается (по определению школьной программы РФ).

Вывод формулы площади

Возьмём трапецию $A B C D$ , где $B C ∥ A D$ , $B C = b$ , $A D = a$ , высота $h$ .

Способ 1 — разбивка диагональю. Диагональ $B D$ делит трапецию на два треугольника: $△ A B D$ и $△ B C D$ . Оба треугольника имеют высоту $h$ (расстояние между параллельными прямыми $A D$ и $B C$ ).

Площадь $△ A B D$ : $S_{1} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ . Площадь $△ B C D$ : $S_{2} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$ . Полная площадь трапеции: $S = S_{1} + S_{2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}$ .

Способ 2 — через среднюю линию. Средняя линия трапеции $m = \frac{a + b}{2}$ , поэтому формулу можно записать как $S = m \cdot h$ . Это удобно, когда средняя линия дана явно.

Основная формула и её применение

Формула площади трапеции: $S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}$ где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота (перпендикулярное расстояние между основаниями).

Порядок решения типовой задачи:

Выписать основания $a$ , $b$ и высоту $h$ .
Найти сумму оснований $a + b$ .
Умножить на $h$ и разделить на 2.

Как найти высоту, если она не дана явно. В прямоугольной трапеции высота равна перпендикулярной боковой стороне. В равнобедренной трапеции из вершины тупого угла опускают перпендикуляр на основание и применяют теорему Пифагора: $h = c^{2} - (\frac{a - b}{2})^{2}$ , где $c$ — боковая сторона.

Связь с другими фигурами

Формула площади трапеции обобщает несколько частных случаев:

Если $b = 0$ , трапеция «вырождается» в треугольник: $S = \frac{a \cdot h}{2}$ — формула площади треугольника.
Если $a = b$ , фигура становится параллелограммом: $S = \frac{2 a \cdot h}{2} = a \cdot h$ — формула площади параллелограмма.

Это хорошая проверка: частные случаи должны давать знакомые формулы.

Ключевые формулы

S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}

Площадь трапеции (основания a и b, высота h)

S = m \cdot h

Площадь через среднюю линию m и высоту h

m = \frac{a + b}{2}

Средняя линия трапеции

h = c^{2} - (\frac{a - b}{2})^{2}

Высота равнобедренной трапеции через боковую сторону c

Запомни

В формуле $S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}$ используется именно высота трапеции, а не боковая сторона.
Средняя линия трапеции $m = \frac{a + b}{2}$ , поэтому $S = m \cdot h$ .
Высота — перпендикуляр между прямыми, содержащими основания, а не наклонная боковая сторона.
Если трапеция прямоугольная, её высота равна перпендикулярной боковой стороне.
Формула площади треугольника — частный случай при $b = 0$ : это помогает проверить себя.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Основания трапеции равны 6 и 10, высота равна 4. Найдите площадь трапеции.

Подсказка: Не забудь разделить на 2 в конце.

Записываем данные: $a = 10$ , $b = 6$ , $h = 4$ .
Применяем формулу: $S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2} = \frac{( 10 + 6 ) \cdot 4}{2} = \frac{16 \cdot 4}{2} = \frac{64}{2} = 32$ .

Ответ:

S = 32

Пример 2

Средняя линия трапеции равна 9, высота равна 5. Найдите площадь трапеции.

Записываем данные: $m = 9$ , $h = 5$ .
Используем формулу через среднюю линию: $S = m \cdot h = 9 \cdot 5 = 45$ .

Ответ:

S = 45

Пример 3

Прямоугольная трапеция имеет основания 5 и 11, перпендикулярная боковая сторона равна 6. Найдите площадь.

В прямоугольной трапеции перпендикулярная боковая сторона является высотой: $h = 6$ .
Основания: $a = 11$ , $b = 5$ .
Площадь: $S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2} = \frac{( 11 + 5 ) \cdot 6}{2} = \frac{16 \cdot 6}{2} = \frac{96}{2} = 48$ .

Ответ:

S = 48

Пример 4

Равнобедренная трапеция имеет основания 8 и 14, боковая сторона равна 5. Найдите площадь трапеции.

Подсказка: Катет равен половине разности оснований:

\frac{a - b}{2}

, а не

a - b

Находим высоту. Из вершины меньшего основания опускаем перпендикуляр на большее. Основание прямоугольного треугольника: $\frac{a - b}{2} = \frac{14 - 8}{2} = 3$ .
По теореме Пифагора: $h = c^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 = 4$ .
Площадь трапеции: $S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2} = \frac{( 14 + 8 ) \cdot 4}{2} = \frac{22 \cdot 4}{2} = \frac{88}{2} = 44$ .

Ответ:

S = 44

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают высоту трапеции с боковой стороной: подставляют длину боковой стороны вместо перпендикулярного расстояния между основаниями.
Забывают делить на 2: пишут $S = (a + b) \cdot h$ вместо $S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}$ .
В равнобедренной трапеции при нахождении высоты неверно определяют катет прямоугольного треугольника: берут $(a - b)$ вместо $\frac{a - b}{2}$ .
Складывают боковые стороны вместо оснований, особенно когда на чертеже фигура повёрнута.