Площадь прямоугольника

Площадь — это числовая характеристика плоской фигуры, которая показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры. Единичный квадрат — квадрат со стороной 1 (одна единица длины: 1 см, 1 м, 1 дм и т. д.).

Основные единицы площади в системе СИ:

• $1{\text{ см}}^2=1\text{ см}\times 1\text{ см}$
• $1{\text{ м}}^2=10000{\text{ см}}^2$
• $1{\text{ дм}}^2=100{\text{ см}}^2$

Именно из аксиомы 3 выводится формула для прямоугольника.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^{\circ }$). Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.

Пусть прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$ (целые числа). Разобьём его горизонтальными и вертикальными линиями на единичные квадраты. Вдоль стороны $a$ умещается $a$ квадратов, вдоль стороны $b$ — $b$ рядов. Всего квадратов: $a\cdot b$. По аксиоме 3 площадь прямоугольника равна $a\cdot b$.

Для дробных и иррациональных сторон это равенство доказывается предельным переходом (или через теорему о площади параллелограмма), но результат тот же:

$S=a\cdot b$

где $a$ и $b$ — длины любых двух смежных сторон прямоугольника, выраженных в одних и тех же единицах.

Из формулы $S=a\cdot b$ можно выразить любую сторону: $a=\frac{S}{b},b=\frac{S}{a}$

Периметр прямоугольника: $P=2(a+b)$

Зная площадь и периметр, можно составить систему уравнений и найти стороны. Например, если $S=24$ и $P=20$, то $a+b=10$ и $a\cdot b=24$. Стороны — корни квадратного уравнения $t^2-10t+24=0$, то есть $t=4$ или $t=6$.

Многие фигуры на практике разбиваются на прямоугольники (или одни прямоугольники вычитаются из других). Алгоритм:

1. Разбей фигуру на непересекающиеся прямоугольники.
2. Вычисли площадь каждого из них по формуле $S=a\cdot b$.
3. Сложи результаты (по аксиоме аддитивности).

Альтернатива: дополни фигуру до большого прямоугольника и вычти лишние части: $S_{\text{фигуры}}=S_{\text{большого}}-S_{\text{лишних}}$

Этот приём широко применяется в задачах ОГЭ и ЕГЭ.