Сумма углов выпуклого многоугольника, 8 класс: задания

0 из 10

Сумма углов выпуклого многоугольника

…

Примеры заданий с ответами

1Какое из чисел может быть суммой углов выпуклого многоугольника?

Сумма углов выпуклого $n$ -угольника равна $180° \cdot (n - 2)$ , то есть делится на $180°$ нацело.
$1080° : 180° = 6$ , значит, $n - 2 = 6$ , $n = 8$ : такой многоугольник существует.
$1330° = 180° \cdot 7 + 70°$ , число не делится на $180$ нацело: такого многоугольника нет.
$1110° = 180° \cdot 6 + 30°$ , число не делится на $180$ нацело: такого многоугольника нет.
$1630° = 180° \cdot 9 + 10°$ , число не делится на $180$ нацело: такого многоугольника нет.
Ответ: $1080°$ .

2Все углы выпуклого 9-угольника равны. Найди каждый угол.

Сумма углов выпуклого $n$ -угольника равна $180° (n - 2)$ : $180° \cdot 7 = 1260°$ .
Каждый угол: $1260° : 9 = 140°$ .

Ответ: 140 °

3Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а)

90°

; б)

60°

? Ответы через запятую.

Все углы равны, поэтому сумма углов $n \cdot α$ . Она же равна $(n - 2) \cdot 180°$ .
а) $90 n = 180 (n - 2)$ , $90 n = 360$ , $n = 4$ .
б) $60 n = 180 (n - 2)$ , $120 n = 360$ , $n = 3$ .

Ответ: 4, 3

4Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен

108°

Ответ: 5

5Сумма углов выпуклого многоугольника и одного из его внешних углов равна

1715°

. Найдите этот внешний угол. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол выпуклого многоугольника больше $0°$ и меньше $180°$ , а сумма углов $180° \cdot (n - 2)$ делится на $180°$ нацело.
Разделим с остатком: $1715° = 180° \cdot 9 + 95°$ , где $0° < 95° < 180°$ .
Значит, сумма углов многоугольника равна $180° \cdot 9 = 1620°$ , а внешний угол равен $95°$ .
Внешний угол равен $95°$ .

Ответ: 95

6Два угла выпуклого многоугольника равны по

105°

, а остальные по

145°

. Определите количество сторон многоугольника.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360°$ .
Внешние углы: при углах $105°$ они равны $180° - 105° = 75°$ , при углах $145°$ равны $180° - 145° = 35°$ .
$2 \cdot 75° = 150°$ , на остальные внешние углы приходится $360° - 150° = 210°$ .
Углов по $145°$ : $210 : 35 = 6$ .
Всего углов (и сторон): $2 + 6 = 8$ .

Ответ: 8