8 класс Геометрия 8 мин чтения

Четырёхугольники. Многоугольники

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Сумма углов выпуклого

n

-угольника равна

(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}

, у четырёхугольника это

36 0^{\circ}

. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам. У прямоугольника диагонали равны, у ромба перпендикулярны. Площадь параллелограмма

S = ah

, трапеции

S = \frac{( a + b ) h}{2}

: при

a = 5

b = 9

h = 4

получаем

S = 28

Проверь себя · 1 из 3

Длины сторон четырёхугольника выражены в дециметрах. Какая из четвёрок чисел может быть длинами сторон четырёхугольника?

Многоугольники окружают нас повсюду: плитка на полу, окна, дорожные знаки — всё это геометрические фигуры. Умение находить их площади, периметры и понимать их свойства нужно в строительстве, дизайне и инженерии.

сумма углов = 360°

Содержание 9

Многоугольник: основные понятия

Многоугольник — замкнутая плоская фигура, образованная отрезками (сторонами), каждые два соседних из которых имеют общую вершину и не лежат на одной прямой.

Основные элементы:

Вершины — точки соединения сторон.
Стороны — отрезки, соединяющие соседние вершины.
Диагонали — отрезки, соединяющие несоседние вершины.
Углы — углы между соседними сторонами.

Выпуклый многоугольник — такой, что он целиком лежит по одну сторону от каждой из своих сторон. В выпуклом многоугольнике все диагонали лежат внутри фигуры.

Сумма углов выпуклого $n$ -угольника: её можно получить, разбив $n$ -угольник на треугольники из одной вершины. Получается $(n - 2)$ треугольника, и сумма углов равна $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ .

Для четырёхугольника ( $n = 4$ ): сумма углов равна $(4 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$ .

Параллелограмм и его свойства

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны равны: $A B = C D$ , $B C = A D$ .
Противоположные углы равны: $∠ A = ∠ C$ , $∠ B = ∠ D$ .
Сумма соседних углов равна $18 0^{\circ}$ : $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$ .
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма (достаточно любого одного):

Обе пары противоположных сторон параллельны.
Обе пары противоположных сторон равны.
Две стороны одновременно равны и параллельны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Площадь параллелограмма: $S = a \cdot h$ , где $a$ — основание, $h$ — высота (перпендикуляр из вершины на основание).

Частные случаи параллелограмма

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые ( $9 0^{\circ}$ ). Дополнительное свойство: диагонали равны.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Дополнительные свойства:

Диагонали перпендикулярны ( $d_{1} ⊥ d_{2}$ ).
Диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны (одновременно и прямоугольник, и ромб). Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся пополам.

Важно понять: квадрат

\subset

прямоугольник

\subset

параллелограмм и квадрат

\subset

ромб

\subset

параллелограмм. Все свойства параллелограмма выполнены для каждого из них.

Сравним четыре свойства: все стороны равны, все углы прямые, диагонали равны, диагонали перпендикулярны.

Фигура	Какие из четырёх свойств есть
Параллелограмм	ни одного
Прямоугольник	все углы прямые, диагонали равны
Ромб	все стороны равны, диагонали перпендикулярны
Квадрат	все четыре

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противоположных сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями ( $a$ и $b$ ), непараллельные — боковыми сторонами.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме: средняя линия $= \frac{a + b}{2}$ .

Равнобедренная (равнобочная) трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны. Свойства:

Углы при основании равны.
Диагонали равны.

Площадь трапеции: $S = \frac{( a + b )}{2} \cdot h$ , где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

Площади многоугольников и теорема Пифагора в задачах

Для вычисления площадей часто нужно провести высоту и применить теорему Пифагора. Разберём логику.

Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение).

Формулы площадей сводная:

Параллелограмм: $S = a \cdot h$
Прямоугольник: $S = a \cdot b$
Ромб: $S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$ (через диагонали)
Квадрат: $S = a^{2}$
Трапеция: $S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}$

Периметр любого многоугольника — сумма длин всех его сторон.

Почему площадь ромба через диагонали? Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Ромб можно разбить на 4 прямоугольных треугольника. Площадь каждого — $\frac{1}{2} \cdot \frac{d _{1}}{2} \cdot \frac{d _{2}}{2}$ . Суммируя 4 таких треугольника: $S = 4 \cdot \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{8} = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$ .

Ключевые формулы

S_{∠} = (n - 2) \cdot 18 0^{\circ}

Сумма углов выпуклого n-угольника

S = a \cdot h

Площадь параллелограмма (основание × высота)

S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}

Площадь трапеции (полусумма оснований × высота)

S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}

Площадь ромба через диагонали

Запомни

Сумма всех углов любого четырёхугольника равна $36 0^{\circ}$ .
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам — это и признак, и свойство.
В прямоугольнике диагонали равны; в ромбе диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна $\frac{a + b}{2}$ .
Квадрат обладает всеми свойствами и прямоугольника, и ромба одновременно.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

В параллелограмме

A B C D

угол

A

равен

7 0^{\circ}

. Найдите углы

B

C

D

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $∠ C = ∠ A = 7 0^{\circ}$ .
Сумма соседних углов параллелограмма равна $18 0^{\circ}$ , поэтому $∠ B = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ .
$∠ D = ∠ B = 11 0^{\circ}$ (противоположные углы равны).

Ответ:

∠ B = ∠ D = 11 0^{\circ}

∠ C = 7 0^{\circ}

Пример 2

Основания трапеции равны

6

см и

10

см, высота —

4

см. Найдите площадь трапеции и длину средней линии.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{( a + b ) \cdot h}{2}$ .
$S = \frac{( 6 + 10 ) \cdot 4}{2} = \frac{16 \cdot 4}{2} = \frac{64}{2} = 32$ кв. см.
Средняя линия трапеции: $m = \frac{a + b}{2} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8 см$ .

Ответ:

S = 32

кв. см, средняя линия

= 8

см.

Пример 3

Диагонали ромба равны

8

см и

6

см. Найдите площадь ромба и длину его стороны.

Подсказка: Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам — это даёт прямоугольный треугольник, в котором сторона ромба является гипотенузой.

Площадь ромба через диагонали: $S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = \frac{48}{2} = 24$ кв. см.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половины диагоналей равны $4$ см и $3$ см.
Сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $4$ и $3$ : $a = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5 см$ .

Ответ:

S = 24

кв. см, сторона ромба

= 5

см.

Пример 4

В прямоугольнике

A B C D

диагональ

A C = 13

см, а сторона

A B = 5

см. Найдите сторону

B C

и площадь прямоугольника.

Подсказка: Диагональ прямоугольника вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник — применяй теорему Пифагора.

В прямоугольнике все углы прямые, поэтому треугольник $A B C$ прямоугольный с прямым углом при $B$ .
По теореме Пифагора: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ , откуда $B C^{2} = A C^{2} - A B^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ .
$B C = 144 = 12$ см.
Площадь прямоугольника: $S = A B \cdot B C = 5 \cdot 12 = 60$ кв. см.

Ответ:

B C = 12

см,

S = 60

кв. см.

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают высоту фигуры со стороной: высота — это перпендикуляр, а не наклонная боковая сторона. В наклонном параллелограмме высота меньше боковой стороны.
При вычислении суммы углов $n$ -угольника забывают вычесть 2: пишут $n \cdot 18 0^{\circ}$ вместо $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ .
Считают, что любой четырёхугольник с равными диагоналями — прямоугольник. Равные диагонали есть и у равнобедренной трапеции.
В формуле площади трапеции делят на 2 только одно основание, а не сумму: пишут $S = \frac{a}{2} + b$ вместо $S = \frac{( a + b )}{2} \cdot h$ .