Рациональные уравнения: задания и примеры с ответами, 8 класс

0 из 10

Рациональные уравнения

…

Примеры заданий с ответами

1Реши уравнение:

3 (x - 2) + 5 = 2 x + 6

Раскроем скобки слева: $3 (x - 2) + 5 = 3 x - 6 + 5 = 3 x - 1$ .
Уравнение $3 x - 1 = 2 x + 6$ ; перенесём: $3 x - 2 x = 6 + 1$ , то есть $x = 7$ .
Ответ: $x = 7$ .

2При каком значении

x

дробь

\frac{x + 2}{x - 5}

не имеет смысла?

3Найди сумму корней:

\frac{3}{x - 1} + \frac{4}{x + 1} = 2

ОДЗ: $x \neq = 1$ и $x \neq = - 1$ . Умножим уравнение на $(x - 1) (x + 1)$ : $3 (x + 1) + 4 (x - 1) = 2 (x^{2} - 1)$ .
Раскроем: $7 x - 1 = 2 x^{2} - 2$ , приведём к виду $2 x^{2} - 7 x - 1 = 0$ .
По теореме Виета сумма корней $= \frac{7}{2}$ (дискриминант $D = 49 + 8 = 57 > 0$ , оба корня в ОДЗ).
Ответ: сумма $\frac{7}{2}$ .

4Найди сумму всех корней:

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 3 (x + \frac{1}{x}) - 1

ОДЗ: $x \neq = 0$ . Замена $t = x + \frac{1}{x}$ , тогда $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = t^{2} - 2$ , и уравнение даёт $t^{2} - 3 t - 1 = 0$ , корни $t = \frac{3 \pm 13}{2}$ .
Уравнение $x + \frac{1}{x} = t$ , то есть $x^{2} - t x + 1 = 0$ , имеет действительные корни только при $∣ t ∣ \geq 2$ . Здесь $t_{1} = \frac{3 + 13}{2} \approx 3, 30 \geq 2$ подходит, а $t_{2} = \frac{3 - 13}{2} \approx - 0, 30$ — нет.
Сумма корней $x$ при $t_{1}$ равна $t_{1} = \frac{3 + 13}{2}$ (по Виета для $x^{2} - t_{1} x + 1 = 0$ ).
Ответ: сумма $\frac{3 + 13}{2}$ .

5При каком значении

a

уравнение

\frac{x - a}{x - 2} = 1

не имеет корней? Запиши

a

ОДЗ: $x \neq = 2$ . При $x \neq = 2$ уравнение $\frac{x - a}{x - 2} = 1$ равносильно $x - a = x - 2$ , то есть $a = 2$ .
Если $a \neq = 2$ , равенство $- a = - 2$ ложно — нет ни одного корня.
Если же $a = 2$ , то $\frac{x - 2}{x - 2} = 1$ верно при всех $x \neq = 2$ — бесконечно много корней, а не их отсутствие.
Ответ: при любом $a \neq = 2$ .

6Конфеты разложили в

x

коробок поровну, всего конфет

N

. Если в каждую коробку положить на

2

конфеты больше, понадобится на

3

коробки меньше. Найди все натуральные значения

N < 60

, при которых это возможно. Впиши числа через «;» по возрастанию.

Условие даёт уравнение $\frac{N}{x - 3} - \frac{N}{x} = 2$ , приводим к $\frac{3 N}{x ( x - 3 )} = 2$ , то есть $3 N = 2 x (x - 3)$ .
Перебираем натуральные $x > 3$ при $N < 60$ : $x = 6$ даёт $N = 12$ , $x = 9$ даёт $N = 36$ .
Других натуральных $N < 60$ нет.
Ответ: 12; 36.