Треугольник. Основные понятия и элементы треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Три точки называются вершинами треугольника и обозначаются заглавными латинскими буквами, например $A$, $B$, $C$. Треугольник обозначается $△ABC$.

Три отрезка, соединяющих вершины, называются сторонами:

• сторона $AB$ (или $c$) — противолежит вершине $C$,
• сторона $BC$ (или $a$) — противолежит вершине $A$,
• сторона $AC$ (или $b$) — противолежит вершине $B$.

Углы, образованные парами сторон в каждой вершине, называются углами треугольника и обозначаются $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ (или $\angle BAC$, $\angle ABC$, $\angle BCA$).

Важно: условие «три точки не лежат на одной прямой» принципиально. Если бы все три точки были коллинеарными, отрезки слились бы в один и никакой фигуры не получилось.

Фундаментальное свойство любого треугольника на плоскости:

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }$.

Это означает: $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$.

Почему именно $180^{\circ }$? Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную стороне $AC$. Три угла у вершины $B$ в сумме составляют развёрнутый угол ($180^{\circ }$), а при параллельных прямых накрест лежащие углы равны соответствующим углам треугольника — вот и получаем $180^{\circ }$.

Следствия:

• Каждый угол треугольника строго меньше $180^{\circ }$ и строго больше $0^{\circ }$.
• В треугольнике не может быть двух тупых углов (и двух прямых тоже).
• Если известны два угла, третий находится по формуле: $\angle C=180^{\circ }-\angle A-\angle B$.

По сторонам:

• Разносторонний — все три стороны различны: $a\ne b\ne c$.
• Равнобедренный — две стороны равны (они называются боковыми, третья — основанием): $a=c\ne b$.
• Равносторонний — все три стороны равны: $a=b=c$. В равностороннем треугольнике каждый угол равен $60^{\circ }$.

По углам:

• Остроугольный — все три угла острые (меньше $90^{\circ }$).
• Прямоугольный — один угол равен $90^{\circ }$ (он называется прямым углом). Стороны, образующие прямой угол, — катеты; сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенуза.
• Тупоугольный — один угол тупой (больше $90^{\circ }$).

Заметь: равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного. Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным (углы $90^{\circ }$, $45^{\circ }$, $45^{\circ }$).

У каждого треугольника есть четыре замечательные линии, проведённые из вершин (или к сторонам).

Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны. В треугольнике три медианы; все три пересекаются в одной точке — центроиде (центре масс), который делит каждую медиану в отношении $2:1$ от вершины.

Биссектриса — отрезок, являющийся биссектрисой угла треугольника (от вершины до противолежащей стороны). Три биссектрисы пересекаются в одной точке — инцентре (центре вписанной окружности).

Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону (или её продолжение). Три высоты пересекаются в одной точке — ортоцентре.

• В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри.
• В прямоугольном — совпадает с вершиной прямого угла.
• В тупоугольном — лежит вне треугольника.

Серединный перпендикуляр — прямая, проходящая через середину стороны перпендикулярно ей. Три серединных перпендикуляра пересекаются в описанном центре (центре описанной окружности).

Не любые три отрезка можно сложить в треугольник. Чтобы треугольник существовал, необходимо и достаточно выполнение неравенства треугольника:

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Формально: $a<b+c$, $b<a+c$, $c<a+b$.

Почему это так? Кратчайшее расстояние между двумя точками — прямолинейное. Если пройти из $A$ в $C$ через $B$ (то есть по ломаной $AB+BC$), путь никак не может оказаться короче прямого отрезка $AC$.

Практическое правило проверки: достаточно убедиться, что сумма двух меньших сторон больше наибольшей.

Пример: стороны $2$, $3$, $6$ — треугольника не существует, так как $2+3=5<6$. Стороны $3$, $4$, $5$ — треугольник существует, так как $3+4=7>5$.