Понятие вектора. Равенство векторов

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, у которого одна из двух крайних точек назначена началом, а другая — концом.

Если начало вектора — точка $A$, а конец — точка $B$, то вектор обозначается $\overrightarrow{AB}$. В рукописном тексте часто пишут $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{v}$ и т.д. — буква со стрелкой над ней.

Важно: стрелка всегда рисуется у конца вектора, а не у начала. Стрелка показывает направление.

Длина вектора (или его модуль) — это длина соответствующего отрезка. Обозначается $|\overrightarrow{AB}|$ или $|\vec{a}|$. Длина вектора всегда $\ge 0$.

Нулевой вектор — особый случай: его начало и конец совпадают. Обозначается $\vec{0}$. Его длина равна нулю, а направление не определено. Нулевой вектор считается параллельным любому вектору.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Проще говоря, их можно «переложить» на одну прямую.

Среди коллинеарных векторов выделяют два случая:

• Сонаправленные векторы — лежат на параллельных (или совпадающих) прямых и «смотрят» в одну сторону.
• Противоположно направленные векторы — лежат на параллельных (или совпадающих) прямых и «смотрят» в противоположные стороны.

Векторы, не лежащие на параллельных прямых, называются неколлинеарными.

Почему это важно? Коллинеарность — ключевое понятие при сложении векторов и при разложении вектора по направлениям. Без понимания направления нельзя сравнивать векторы.

Запись: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ означает, что эти два вектора сонаправлены и $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|$.

Геометрический смысл. Два вектора равны тогда и только тогда, когда один из них получается из другого параллельным переносом (сдвигом без поворота и без изменения размера).

Из этого определения следует принципиально важный вывод: вектор не привязан к конкретному месту на плоскости. Можно свободно «переносить» вектор, не меняя его — он останется тем же вектором. Именно поэтому говорят о свободном векторе.

Что НЕ меняет вектор:

• перемещение начала в другую точку (при сохранении направления и длины)

Что меняет вектор:

• поворот (изменяется направление)
• изменение длины отрезка
• перестановка начала и конца местами (получается противоположный вектор $\overrightarrow{BA}$, а не $\overrightarrow{AB}$)

Для каждого вектора $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ существует противоположный вектор $-\vec{a}=\overrightarrow{BA}$.

Противоположный вектор имеет ту же длину, что и исходный, но направлен в противоположную сторону: $|-\vec{a}|=|\vec{a}|$

Сумма вектора и противоположного ему равна нулевому вектору: $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$

Пример на чертеже. Если дан отрезок $AB$, то вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен от $A$ к $B$, а вектор $\overrightarrow{BA}$ — от $B$ к $A$. Эти два вектора противоположны.

На практике, глядя на рисунок, проверяют три условия:

1. Прямые, на которых лежат векторы, параллельны (или совпадают).
2. Длины отрезков равны: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|$.
3. Направления совпадают (оба «смотрят» в одну сторону, а не навстречу друг другу).

Если все три условия выполнены — векторы равны.

Удобный приём. В задачах с параллелограммом $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (а не $\overrightarrow{CD}$! — важно следить за направлением стрелки).