Теорема Виета: задания и примеры с ответами, 8 класс

0 из 10

Теорема Виета

…

Примеры заданий с ответами

1Не вычисляя корни, найди сумму корней уравнения

x^{2} - 9 x + 14 = 0

Уравнение приведённое ( $x^{2} + p x + q = 0$ ), поэтому по теореме Виета сумма корней равна $- p$ .
Здесь $p = - 9$ , значит $x_{1} + x_{2} = - (- 9) = 9$ .
Ответ: $9$ .

2Сумма корней уравнения

x^{2} - 10 x + 21 = 0

Ответ: 10

3Найди корни

x_{1}

x_{2}

уравнения

x^{2} - 5 x + 6 = 0

и запиши значение выражения

x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})

По теореме Виета для $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : сумма корней $x_{1} + x_{2} = 5$ , произведение $x_{1} x_{2} = 6$ .
Подставляем в выражение: $x_{1} x_{2} \cdot (x_{1} + x_{2}) = 6 \cdot 5$ .
Считаем: $6 \cdot 5 = 30$ .
Ответ: $30$ .

4Не решая, определи расположение корней уравнения

x^{2} - (m + 1) x + m = 0

относительно нуля при

m = - 3

. В ответ запиши: «разных знаков», «оба положительны» или «оба отрицательны».

По теореме Виета произведение корней равно свободному члену: $x_{1} x_{2} = m = - 3$ .
Произведение отрицательно, значит корни имеют разные знаки.
Проверим существование корней: $D = (m + 1)^{2} - 4 m = (m - 1)^{2} \geq 0$ при любом $m$ .
Ответ: разных знаков.

5Известно, что

x_{1} + x_{2} = 5

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13

. Найди

x_{1} \cdot x_{2}

и сами корни. Запиши: произведение; меньший корень; больший корень.

Знаем $S = x_{1} + x_{2} = 5$ и $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13$ . Используем тождество $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ , где $P = x_{1} x_{2}$ .
Отсюда $13 = 25 - 2 P$ , значит $2 P = 12$ и $P = 6$ .
По обратной теореме Виета корни — решения уравнения $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ ; раскладывая на множители $(t - 2) (t - 3) = 0$ , получаем $t = 2$ и $t = 3$ .
Ответ: $x_{1} x_{2} = 6$ , корни $2$ и $3$ .

6В уравнении

x^{2} - (a + 1) x + a = 0

разность корней равна

3

. Найди наибольшее значение

a

Разложим квадратный трёхчлен: $x^{2} - (a + 1) x + a = (x - 1) (x - a)$ , значит корни равны $1$ и $a$ .
Разность корней по модулю равна $3$ : $∣ a - 1∣ = 3$ , откуда $a = 4$ или $a = - 2$ .
Наибольшее значение — $a = 4$ .
Ответ: $4$ .