Таблица степеней чисел от 2 до 10
Обновлено · Ангелина Владимировна, репетитор по математике с 5-летним опытом, создатель и методист Пифики
Коротко: Таблицей степеней называют таблицу значений степеней чисел: в строке основание, в столбце показатель, на пересечении ответ. Например, 3⁴ = 81, 2¹⁰ = 1024. Степень говорит, сколько раз число умножают само на себя: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Число в первой степени равно самому себе, в нулевой степени равно 1.
Проверь себя за минуту
3 задания по теме с проверкой и решением. Бесплатно.
Содержание 16
Большая таблица степеней по алгебре от 2 до 10
Здесь значения степеней чисел от 2 до 10 с 1-й по 10-ю. Такая таблица степеней нужна на алгебре с 7 класса и в ОГЭ. В строке стоит основание, в столбце показатель. Например, 7³ ищи в строке 7 и столбце a³: там 343. Четвёртые и пятые степени чисел стоят в столбцах a⁴ и a⁵, степени чисел 6, 7, 8 и 9 в своих строках.
Степени с 1-й по 5-ю
| a | a¹ | a² | a³ | a⁴ | a⁵ |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
| 3 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 |
| 4 | 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 |
| 5 | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 |
| 6 | 6 | 36 | 216 | 1296 | 7776 |
| 7 | 7 | 49 | 343 | 2401 | 16 807 |
| 8 | 8 | 64 | 512 | 4096 | 32 768 |
| 9 | 9 | 81 | 729 | 6561 | 59 049 |
| 10 | 10 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 |
Степени с 6-й по 10-ю
| a | a⁶ | a⁷ | a⁸ | a⁹ | a¹⁰ |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| 3 | 729 | 2187 | 6561 | 19 683 | 59 049 |
| 4 | 4096 | 16 384 | 65 536 | 262 144 | 1 048 576 |
| 5 | 15 625 | 78 125 | 390 625 | 1 953 125 | 9 765 625 |
| 6 | 46 656 | 279 936 | 1 679 616 | 10 077 696 | 60 466 176 |
| 7 | 117 649 | 823 543 | 5 764 801 | 40 353 607 | 282 475 249 |
| 8 | 262 144 | 2 097 152 | 16 777 216 | 134 217 728 | 1 073 741 824 |
| 9 | 531 441 | 4 782 969 | 43 046 721 | 387 420 489 | 3 486 784 401 |
| 10 | 1 000 000 | 10 000 000 | 100 000 000 | 1 000 000 000 | 10 000 000 000 |
На телефоне широкую таблицу листай вбок.
Что значит возвести число в степень
Число a называют основанием, число n показателем степени. Запись 5³ читают «пять в кубе» или «пять в третьей степени»:
5³ = 5 · 5 · 5 = 125
Вторую степень называют квадратом, третью кубом. Остальные читают по номеру, например 2⁶: «два в шестой степени».
Не путай степень с умножением: 2⁶ = 64, а 2 · 6 = 12.
Степень удобно читать как короткую запись умножения. Вместо 3 · 3 · 3 · 3 пишут 3⁴, это 81. С ростом показателя число растёт быстро: 3² = 9, а 3⁶ уже 729.
Квадрат и куб назвали по фигурам. Площадь квадрата со стороной a равна a², объём куба с ребром a равен a³.
Определение и разбор с картинками: степень с натуральным показателем и квадрат и куб числа для 5 класса.
Как пользоваться таблицей степеней
Таблица отвечает на три вопроса.
- Найти значение. Сколько будет 6⁴? Строка 6, столбец a⁴: 1296.
- Найти показатель. В какую степень возвести 2, чтобы вышло 256? В строке 2 число 256 стоит в столбце a⁸, значит, 2⁸ = 256.
- Найти основание. Какое число в четвёртой степени даёт 625? В столбце a⁴ число 625 стоит в строке 5: 5⁴ = 625.
Так же решают простые уравнения со степенью. В 3ˣ = 243 ищешь 243 в строке 3: оно стоит под a⁵, поэтому x = 5. В 2ˣ = 64 число 64 стоит под a⁶, и x = 6. Ответ сверяй умножением: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64.
Единицы в таблице нет: 1ⁿ = 1 при любом показателе. Степени десятки (десятичные степени) считаются сами: 10ⁿ записывают единицей и n нулями: 10⁶ = 1 000 000.
Степени числа 2: таблица до 20-й степени
Степени двойки встречаются чаще других: в задачах «каждый час число бактерий удваивается», в информатике и в ОГЭ. Вот значения степеней числа 2 до 20-й.
| n | 2ⁿ | n | 2ⁿ |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 11 | 2048 |
| 2 | 4 | 12 | 4096 |
| 3 | 8 | 13 | 8192 |
| 4 | 16 | 14 | 16 384 |
| 5 | 32 | 15 | 32 768 |
| 6 | 64 | 16 | 65 536 |
| 7 | 128 | 17 | 131 072 |
| 8 | 256 | 18 | 262 144 |
| 9 | 512 | 19 | 524 288 |
| 10 | 1024 | 20 | 1 048 576 |
Степени чисел 4, 8 и 16
| n | 4ⁿ |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 2 | 16 |
| 3 | 64 |
| 4 | 256 |
| 5 | 1024 |
| 6 | 4096 |
| 7 | 16 384 |
| 8 | 65 536 |
| 9 | 262 144 |
| 10 | 1 048 576 |
Степени четвёрки, восьмёрки и числа 16 можно брать из таблицы двойки, потому что 4 = 2², 8 = 2³ и 16 = 2⁴. Показатель при этом умножается:
- 4⁵ = 2¹⁰ = 1024
- 8³ = 2⁹ = 512
- 16² = 2⁸ = 256
Степени числа 3: таблица до 10-й степени
3 в 5 степени равно 243, 3 в 10 степени равно 59 049. Ниже все степени тройки с 1-й по 10-ю.
| n | 3ⁿ |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 9 |
| 3 | 27 |
| 4 | 81 |
| 5 | 243 |
| 6 | 729 |
| 7 | 2187 |
| 8 | 6561 |
| 9 | 19 683 |
| 10 | 59 049 |
Последние цифры степеней тройки идут по кругу: 3, 9, 7, 1, потом снова 3, 9, 7, 1. Так можно узнать последнюю цифру даже у 3¹⁰⁰. 100 делится на 4, значит, цифра та же, что у 3⁴ = 81, то есть 1.
Степени девятки бери из той же строки: 9 = 3², поэтому 9³ = 3⁶ = 729. А уравнение 3ˣ = 81 решается взглядом на таблицу: 81 стоит под a⁴, значит, x = 4.
Степени числа 5: таблица до 10-й степени
5 в 3 степени равно 125, 5 в 5 степени равно 3125, 5 в 10 степени равно 9 765 625. Ниже все степени пятёрки с 1-й по 10-ю.
| n | 5ⁿ |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 25 |
| 3 | 125 |
| 4 | 625 |
| 5 | 3125 |
| 6 | 15 625 |
| 7 | 78 125 |
| 8 | 390 625 |
| 9 | 1 953 125 |
| 10 | 9 765 625 |
Все степени пятёрки, начиная со второй, оканчиваются на 25. А в паре с двойкой пятёрка даёт круглые числа: 5ⁿ · 2ⁿ = 10ⁿ. Например, 5³ · 2³ = 125 · 8 = 1000.
Степени числа 25 тоже здесь: 25 = 5², поэтому 25² = 5⁴ = 625, а 25³ = 5⁶ = 15 625. Если 5⁴ у тебя вышло 620, ищи ошибку: ответ обязан оканчиваться на 25.
Таблица кубов от 1 до 10
Кубом числа называют его третью степень: a³ = a · a · a.
| a | a³ | a | a³ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 216 |
| 2 | 8 | 7 | 343 |
| 3 | 27 | 8 | 512 |
| 4 | 64 | 9 | 729 |
| 5 | 125 | 10 | 1000 |
Кубы нужны в задачах на объём. У кубика с ребром 4 см объём 4³ = 64 см³.
Квадраты чисел от 1 до 100 собраны в отдельной статье: таблица квадратов.
Чему равно число в 1 степени и в 0 степени
- 7¹ = 7, 125¹ = 125, (−3)¹ = −3.
- 7⁰ = 1, 125⁰ = 1, (−3)⁰ = 1.
Откуда в нулевой степени единица, видно по таблице. Иди по строке двойки влево: 16, 8, 4, 2. Каждый шаг делит на 2. Ещё один шаг даёт 2 : 2 = 1, это и есть 2⁰.
У выражения 0⁰ значения нет, в школе его не определяют.
Какой знак у степени отрицательного числа
- (−2)² = 4 и (−2)⁴ = 16: показатель чётный, ответ с плюсом.
- (−2)³ = −8 и (−2)⁵ = −32: показатель нечётный, ответ с минусом.
Минусы сокращаются парами. В чётной степени все минусы разбиваются на пары, в нечётной один остаётся.
Следи за скобками. (−3)² = (−3) · (−3) = 9, а −3² = −(3 · 3) = −9: без скобок в степень возводят только тройку.
Что такое отрицательная степень числа
В 8 классе показатель бывает отрицательным. Тогда число уходит в знаменатель: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
2⁻³ = 1/2³ = 1/8
10⁻² = 1/100 = 0,01
Знаменатель берёшь из той же таблицы степеней. Правила и примеры: степень с целым показателем.
Чему равно число в степени 1/2 и 1/3
16^(1/2) = √16 = 4
27^(1/3) = ∛27 = 3
Корень ищут по той же таблице, только в обратную сторону: 27 стоит в столбце a³ в строке 3, значит, кубический корень из 27 равен 3. Дробные показатели проходят в старших классах, а квадратный корень в 8 классе.
Какие формулы степеней нужно знать
Пять правил, которые экономят счёт. В первых трёх основание одинаковое, в двух последних одинаковые показатели.
| Правило | Пример |
|---|---|
| aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 3⁵ : 3² = 3³ = 27 |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2²)³ = 2⁶ = 64 |
| (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 · 5)³ = 8 · 125 = 1000 |
| (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
Таблица помогает проверить любое правило. 2⁵ · 2³ = 2⁸, а по таблице 2⁸ = 256. Посчитай отдельно: 32 · 8 = 256, сходится. Для сложения таких правил нет: 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24.
Эти правила напечатаны в справочных материалах ОГЭ, их приложили к демоверсии ОГЭ на сайте ФИПИ. В кодификаторе ОГЭ тема записана так: «Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени». Её проходят с 7 по 9 класс.
Откуда берутся эти правила и задачи на них: свойства степеней.
Частые ошибки
- Умножили основание на показатель. 2⁵ = 10 неверно. Правильно: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
- Решили, что в нулевой степени будет 0. 5⁰ = 0 неверно. Правильно: 5⁰ = 1.
- Потеряли скобки. −2⁴ = 16 неверно. Правильно: −2⁴ = −16, а (−2)⁴ = 16.
- Ошиблись со знаком. (−3)³ = 27 неверно. Показатель нечётный, поэтому (−3)³ = −27.
- Сложили показатели при сложении. 2³ + 2⁴ = 2⁷ неверно. Складывают значения: 8 + 16 = 24.
- Перемножили показатели при умножении. 3² · 3³ = 3⁶ неверно. Правильно: 3²⁺³ = 3⁵ = 243.
Частые вопросы
Чему равно число в первой степени?
Самому числу: a¹ = a. Например, 9¹ = 9 и (−4)¹ = −4. Множитель всего один, умножать его не на что.
Чему равно число в нулевой степени?
Единице, если само число не ноль: 8⁰ = 1, (−5)⁰ = 1. У выражения 0⁰ значения нет.
Как найти показатель степени числа?
Дели число на основание, пока не получишь 1, и считай деления. 81 : 3 = 27, 27 : 3 = 9, 9 : 3 = 3, 3 : 3 = 1: деления четыре, значит, 81 = 3⁴. Или найди число в строке основания в таблице степеней.
Сколько будет 2 в 10 степени?
2¹⁰ = 1024. От этого числа легко посчитать соседние: 2¹¹ = 2048, а 2²⁰ = 1024 · 1024 = 1 048 576.
Почему отрицательное число в чётной степени положительное?
Минус на минус даёт плюс. В чётной степени минусы разбиваются на пары, и каждая пара даёт плюс: (−2)⁴ = 4 · 4 = 16. В нечётной степени один минус остаётся без пары: (−2)³ = −8.
Какие степени у чисел 6 и 7?
Степени числа 6: 6, 36, 216, 1296, 7776. Степени числа 7: 7, 49, 343, 2401, 16 807. Это первые пять степеней, остальные смотри в строках 6 и 7 большой таблицы степеней.
Как возвести число в степень на калькуляторе телефона?
Открой инженерный режим: поверни телефон горизонтально или нажми кнопку со стрелкой. Появится кнопка xʸ. Набери основание, нажми xʸ, набери показатель и «=». Например, 2, xʸ, 10, «=» даёт 1024.
В каком классе проходят степени?
Квадрат и куб числа проходят в 5 классе. Степень с натуральным показателем и её свойства изучают в 7 классе, отрицательные показатели в 8 классе.
