8 класс 4 мин чтения

Теорема Виета: формула и как подбирать корни

Q: Теорема Виета: формула и как подбирать корни

Теорема Виета: у приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 сумма корней равна -b, а произведение равно c. Для x² - 5x + 6 = 0 сумма корней 5, произведение 6, значит, корни 2 и 3. Так корни подбирают в уме, без дискриминанта. Если перед x² стоит не 1, сумма корней равна -b/a, а произведение c/a.

Q: Как решать по теореме Виета?

Приведи уравнение к виду x² + bx + c = 0, выпиши сумму корней -b и произведение c и подбери два числа. Для x² - 9x + 20 = 0 это 4 и 5.

Q: Как звучит теорема Виета простыми словами?

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Q: Когда теорема Виета не работает?

Сами равенства верны всегда, если корни есть. Подбор не работает, когда корней нет (дискриминант отрицательный) или корни иррациональные. Тогда решай через дискриминант.

Q: В каком классе проходят теорему Виета?

В 8 классе на алгебре, в теме «Квадратные уравнения». Она помогает в ОГЭ, в заданиях 9 и 20.

Обновлено 6 октября 2026 г. · Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Теорема Виета: формула и как подбирать корни

Коротко: Теорема Виета: у приведённого квадратного уравнения

x^{2} + b x + c = 0

сумма корней равна

- b

, а произведение равно

c

. Для

x^{2} - 5 x + 6 = 0

сумма корней 5, произведение 6, значит, корни 2 и 3. Так корни подбирают в уме, без дискриминанта. Если перед

x^{2}

стоит не 1, сумма корней равна

- \frac{b}{a}

, а произведение

\frac{c}{a}

Проверь себя за минуту

3 задания по теме с проверкой и решением. Бесплатно.

Что говорит теорема Виета

Уравнение называют приведённым, если перед $x^{2}$ стоит 1: $x^{2} + b x + c = 0$ . Буквы бывают другие, часто пишут $x^{2} + p x + q = 0$ .

Правило. Если

x_{1}

x_{2}

корни приведённого уравнения, то сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену:

$x_{1} + x_{2} = - b, x_{1} \cdot x_{2} = c$

Пример. $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ : сумма 7, произведение 12. Подходят 3 и 4: $3 + 4 = 7$ , $3 \cdot 4 = 12$ .

Как подбирать корни: 4 шага

Убедись, что перед $x^{2}$ стоит 1.
Выпиши сумму $- b$ и произведение $c$ .
Определи знаки. При $c > 0$ корни одного знака, такого же, как у суммы. При $c < 0$ корни разных знаков.
Перебери пары множителей числа $c$ и найди ту, что даёт нужную сумму.

Пример. $x^{2} + x - 12 = 0$ . Сумма $- 1$ , произведение $- 12$ . Корни разных знаков, пары множителей 12: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумму $- 1$ дают $- 4$ и 3.

Подбери корни x² + bx + c = 0

b c

x_1 = 2, \; x_2 = 3

Уравнение:

x^2 - 5x + 6 = 0

По теореме Виета сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену:

x_1 + x_2 = 5, \qquad x_1 \cdot x_2 = 6

Подбираем два числа с произведением 6 и суммой 5:

2 \cdot 3 = 6, \qquad 2 + 3 = 5

Если перед x² стоит не 1

Для уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ теорема звучит так:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Пример. $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ . Сумма $\frac{7}{2}$ , произведение $\frac{3}{2}$ . Корни 3 и $\frac{1}{2}$ : $3 + 0, 5 = 3, 5$ и $3 \cdot 0, 5 = 1, 5$ .

Когда корни дробные, подбор даётся труднее. Тогда надёжнее формула корней через дискриминант.

Обратная теорема: уравнение по корням

Правило. Если сумма чисел

m

n

равна

- b

, а произведение равно

c

, то

m

n

корни уравнения

x^{2} + b x + c = 0

Пример. Составь уравнение с корнями 2 и $- 5$ . Сумма $- 3$ , произведение $- 10$ :

$x^{2} + 3 x - 10 = 0$

Проверка: $4 + 6 - 10 = 0$ и $25 - 15 - 10 = 0$ .

Когда подбор не работает

Корней нет. У $x^{2} + x + 1 = 0$ дискриминант $1 - 4 = - 3$ . Сумма и произведение «есть», а корней нет. Если пара не подбирается, посчитай $D$ .
Корни иррациональные. У $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ корни $1 + 2$ и $1 - 2$ . Теорема для них верна: сумма 2, произведение $1 - 2 = - 1$ . Но подобрать их в уме не выйдет.

Задачи без нахождения корней

Иногда корни искать не нужно. Например, сумму квадратов корней выражают через сумму и произведение:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

Пример. $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ , дискриминант $25 - 12 = 13 > 0$ , корни есть. Сумма 5, произведение 3: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 25 - 6 = 19$ .

Теорема Виета в ОГЭ

В задании 9 есть тип «приведённое квадратное уравнение»: найти больший или меньший корень. Там подбор по Виета экономит время. В задании 20 уравнения сложнее, и после замены часто получается приведённое квадратное уравнение.

Частые ошибки

Сумму взяли со знаком $b$ . Для $x^{2} + 6 x - 72 = 0$ сумма корней $- 6$ , а не 6.
Применили к неприведённому уравнению. Для $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ сумма $\frac{7}{2}$ , а не 7.
Не проверили, есть ли корни. Пара для $x^{2} + x + 1 = 0$ не найдётся, потому что корней нет.
Перепутали знаки при $c < 0$ . Корни разных знаков: больший по модулю идёт со знаком суммы.
Подставили не тот корень. Если просят больший, сравни оба: $- 3$ больше, чем $- 8$ .

Частые вопросы

Как решать по теореме Виета?

Приведи уравнение к виду

x^{2} + b x + c = 0

, выпиши сумму корней

- b

и произведение

c

и подбери два числа. Для

x^{2} - 9 x + 20 = 0

это 4 и 5.

Как звучит теорема Виета простыми словами?