Задание 20 ОГЭ по математике: уравнения, неравенства, системы

Ответ: -8; 5

1. 1Перенесём всё в левую часть: $x^4-(3x-40{)}^2=0.$
2. 2Разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=x^2$, $b=3x-40$: $(x^2-(3x-40))(x^2+3x-40)=0,$ $(x^2-3x+40)(x^2+3x-40)=0.$
3. 3Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
4. 41) $x^2-3x+40=0$: $D=3^2-4\cdot 40=-151<0$, корней нет.
5. 52) $x^2+3x-40=0$, $D=3^2+4\cdot 40=169=13^2$, $x_1=\frac{-3-13}{2}=-8$, $x_2=\frac{-3+13}{2}=5$.
6. 6Ответ: $-8;5$.

Ответ: -6; -2; 2

1. 1Перенесём всё в левую часть: $x^3+6x^2-4x-24=0.$
2. 2Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $x+6$: $x^2(x+6)-4(x+6)=0,$ $(x+6)(x^2-4)=0.$
3. 3По формуле разности квадратов $x^2-4=(x-2)(x+2)$: $(x+6)(x-2)(x+2)=0.$
4. 4Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем $x=-6$, $x=2$ или $x=-2$.
5. 5Ответ: $-6;-2;2$.

Ответ: -4; -3; 1

1. 1По формуле квадрата суммы $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$. Перенесём всё в левую часть: $x(x+3{)}^2-4(x+3)=0.$
2. 2Вынесем общий множитель $x+3$: $(x+3)(x(x+3)-4)=0,$ $(x+3)(x^2+3x-4)=0.$
3. 3Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
4. 41) $x+3=0$, откуда $x=-3$.
5. 52) $x^2+3x-4=0$, $D=3^2+4\cdot 4=25=5^2$, $x_1=\frac{-3-5}{2}=-4$, $x_2=\frac{-3+5}{2}=1$.
6. 6Ответ: $-4;-3;1$.

Ответ: 1; 5

1. 1Сделаем замену $t=(x-3{)}^2$, где $t⩾0$. Получим квадратное уравнение $t^2+2t-24=0.$
2. 2По теореме, обратной теореме Виета, $t_1=4$, $t_2=-6$: их сумма равна $-2$, произведение равно $-24$.
3. 3Корень $t=-6$ не подходит, так как $t=(x-3{)}^2⩾0$.
4. 4Обратная замена: $(x-3{)}^2=4$, $x-3=2$ или $x-3=-2$, откуда $x=5$ или $x=1$.
5. 5Ответ: $1;5$.

Ответ: $-\frac{1}{4};-\frac{1}{5}$

1. 1Уравнение имеет смысл при $x\ne 0$. Сделаем замену $t=\frac{1}{x}$, тогда $\frac{1}{x^2}=t^2$: $t^2+9t+20=0.$
2. 2По теореме, обратной теореме Виета, $t_1=-5$, $t_2=-4$: их сумма равна $-9$, произведение равно $20$.
3. 3Обратная замена: $\frac{1}{x}=-5$, откуда $x=-\frac{1}{5}$; $\frac{1}{x}=-4$, откуда $x=-\frac{1}{4}$.
4. 4Ответ: $-\frac{1}{4};-\frac{1}{5}$.

Ответ: 5

1. 1Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому сумма двух квадратов равна нулю, только если оба выражения равны нулю: $\{\begin{array}{l}{x}^2-25=0,\\ x^2-6x+5=0.\end{array}$
2. 2Из первого уравнения $x^2=25$, $x=-5$ или $x=5$.
3. 3Второе уравнение по теореме, обратной теореме Виета: $x=1$ или $x=5$.
4. 4Обоим уравнениям удовлетворяет только $x=5$.
5. 5Ответ: $5$.

Ответ: -2

1. 1Ограничение: подкоренное выражение неотрицательно, $1-x⩾0$, то есть $x⩽1$.
2. 2При этом условии вычтем из обеих частей $\sqrt{1-x}$ и перенесём $6$ в левую часть: $x^2-x-6=0.$
3. 3$x^2-x-6=0$, $D=(-1{)}^2+4\cdot 6=25=5^2$, $x_1=\frac{1-5}{2}=-2$, $x_2=\frac{1+5}{2}=3$.
4. 4Корень $x=3$ не подходит: $3>1$, и выражение $\sqrt{1-x}$ при нём не определено. Корень $x=-2$ удовлетворяет условию $x⩽1$.
5. 5Ответ: $-2$.

Ответ: (-1; -3); (1; -3)

1. 1Сложим уравнения системы, переменная $y$ сократится: $16x^2=16,$ откуда $x^2=1$, то есть $x=-1$ или $x=1$.
2. 2Из первого уравнения $y=3-6x^2$. При $x^2=1$ получаем $y=3-6=-3$ (для обоих значений $x$).
3. 3Ответ: $(-1;-3);(1;-3)$.

Ответ: (3; -3); (3; 3)

1. 1Вынесем во втором уравнении множитель $3$: $3(x^2+3y^2)=36x.$
2. 2По первому уравнению $x^2+3y^2=36$, поэтому $3\cdot 36=36x$, откуда $x=3$.
3. 3Подставим $x=3$ в первое уравнение: $9+3y^2=36$, $3y^2=27$, $y^2=9$, откуда $y=-3$ или $y=3$.
4. 4Ответ: $(3;-3);(3;3)$.

Ответ: $(1;-5);(\frac{11}{6};0)$

1. 1Правые части уравнений равны, значит, равны и левые: $6x^2-11x=6x-11.$
2. 2Перенесём всё влево и вынесем общий множитель $6x-11$: $x(6x-11)-(6x-11)=0,$ $(6x-11)(x-1)=0,$ откуда $x=\frac{11}{6}$ или $x=1$.
3. 3Из второго уравнения $y=6x-11$. При $x=\frac{11}{6}$ получаем $y=0$; при $x=1$ получаем $y=6-11=-5$.
4. 4Ответ: $(1;-5);(\frac{11}{6};0)$.

Ответ: $[-8;-5]\cup [4;7]$

1. 1Разложим каждый трёхчлен на множители (корни найдём по теореме, обратной теореме Виета): $x^2+x-56=(x+8)(x-7)$, $x^2+x-20=(x+5)(x-4)$.
2. 2Неравенство принимает вид $(x+8)(x+5)(x-4)(x-7)⩽0.$
3. 3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $-8$, $-5$, $4$, $7$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4. 4При $x>7$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(-\infty ;-8)$: «$+$», $(-8;-5)$: «$-$», $(-5;4)$: «$+$», $(4;7)$: «$-$», $(7;+\infty )$: «$+$».
5. 5Выбираем промежутки со знаком «$-$» и закрашенные точки: $-8⩽x⩽-5$ или $4⩽x⩽7$.
6. 6Ответ: $[-8;-5]\cup [4;7]$.

Ответ: $(-\infty ;-5)\cup [0;+\infty )$

1. 1Неравенство имеет смысл при $x\ne -5$. Перенесём $x$ в левую часть и приведём к общему знаменателю: $\frac{x^2-x(x+5)}{x+5}⩽0,\frac{-5x}{x+5}⩽0.$
2. 2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $0$ закрашенная (левая часть в ней равна нулю, неравенство нестрогое); $-5$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3. 3При $x>0$ все скобки положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа $-5$. При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(-\infty ;-5)$: «$-$», $(-5;0)$: «$+$», $(0;+\infty )$: «$-$».
4. 4Выбираем промежутки со знаком «$-$» и закрашенные точки: $x<-5$ или $x⩾0$.
5. 5Ответ: $(-\infty ;-5)\cup [0;+\infty )$.

Ответ: $(-\infty ;0)\cup (8;+\infty )$

1. 1Неравенство имеет смысл при $x\ne 0$ и $x\ne 8$. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю: $\frac{1}{x}-\frac{1}{x-8}⩽0,\frac{x-8-x}{x(x-8)}⩽0,\frac{-8}{x(x-8)}⩽0.$
2. 2Числитель равен $-8\ne 0$, поэтому левая часть в нуль не обращается.
3. 3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $0$, $8$ выколотые (в них знаменатель равен нулю).
4. 4При $x>8$ все скобки положительны, поэтому знак левой части совпадает со знаком числа $-8$. При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(-\infty ;0)$: «$-$», $(0;8)$: «$+$», $(8;+\infty )$: «$-$».
5. 5Выбираем промежутки со знаком «$-$»: $x<0$ или $x>8$.
6. 6Ответ: $(-\infty ;0)\cup (8;+\infty )$.

Ответ: $(-6;0)\cup (6;+\infty )$

1. 1Неравенство имеет смысл при $x\ne 0$. Перенесём всё в левую часть, приведём к общему знаменателю и разложим числитель по формуле разности квадратов: $x-\frac{36}{x}>0,\frac{x^2-36}{x}>0,\frac{(x-6)(x+6)}{x}>0.$
2. 2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $-6$, $6$ выколотые (неравенство строгое); $0$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3. 3При $x>6$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(-\infty ;-6)$: «$-$», $(-6;0)$: «$+$», $(0;6)$: «$-$», $(6;+\infty )$: «$+$».
4. 4Выбираем промежутки со знаком «$+$»: $-6<x<0$ или $x>6$.
5. 5Ответ: $(-6;0)\cup (6;+\infty )$.

Ответ: нет решений

1. 1При любом $x$ выполнено $(x-6{)}^2⩾0$, значит, $-18(x-6{)}^2⩽0$ и $-18(x-6{)}^2-10⩽-10<0.$
2. 2Левая часть отрицательна при всех $x$, поэтому неравенство не выполняется ни при каком $x$.
3. 3Ответ: нет решений.

Ответ: (9; 16)

1. 1Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $x-9$: $(x-9{)}^2-7(x-9)<0,(x-9)(x-16)<0.$
2. 2Множители обращаются в нуль при $x=9$ и $x=16$, причём $9<16$.
3. 3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $9$, $16$ выколотые (неравенство строгое).
4. 4При $x>16$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется. Знаки на промежутках слева направо: $(-\infty ;9)$: «$+$», $(9;16)$: «$-$», $(16;+\infty )$: «$+$».
5. 5Выбираем промежутки со знаком «$-$»: $9<x<16$.
6. 6Ответ: $(9;16)$.

Ответ: 0

1. 1Знаменатель дроби не равен нулю (иначе дробь не имеет смысла), поэтому по свойству пропорции $2a-b+2=3(a-2b+2).$
2. 2Раскроем скобки, слагаемые с $a$ и $b$ соберём в одной части, числа в другой: $2a-b+2=3a-6b+6$, $a-5b=2-6=-4.$
3. 3Тогда $a-5b+4=(a-5b)+4=-4+4=0$.
4. 4Ответ: $0$.

Ответ: $-\frac{3}{2};-\frac{4}{3}$

1. 1Уравнение имеет смысл при $x\ne -1$. Сделаем замену $t=\frac{1}{x+1}$: $t^2+5t+6=0.$
2. 2По теореме, обратной теореме Виета, $t_1=-3$, $t_2=-2$: их сумма равна $-5$, произведение равно $6$.
3. 3Обратная замена: $\frac{1}{x+1}=-3$, $x+1=-\frac{1}{3}$, $x=-1+(-\frac{1}{3})=-\frac{4}{3}$.
4. 4$\frac{1}{x+1}=-2$, $x+1=-\frac{1}{2}$, $x=-1+(-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}$.
5. 5Ответ: $-\frac{3}{2};-\frac{4}{3}$.

Ответ: (1; 4); (7; -5)

1. 1Второе уравнение имеет смысл при $x+y-6\ne 0$. Из первого уравнения: $x=7$ или $y=4$.
2. 21) $y=4$. Второе уравнение принимает вид $\frac{-3}{x-2}=3$, откуда $x-2=-1$, $x=1$. Знаменатель равен $-1\ne 0$.
3. 32) $x=7$. Второе уравнение принимает вид $\frac{y-7}{y+1}=3$, откуда $y-7=3(y+1)$, $-2y=10$, $y=-5$. Проверим знаменатель: $-5+1=-4\ne 0$.
4. 4Ответ: $(1;4);(7;-5)$.

Ответ: $(-\infty ;-8]\cup \{8\}$

1. 1Разложим на множители: $x^2-64=(x-8)(x+8)$ (разность квадратов).
2. 2Так как $8-x=-(x-8)$, неравенство принимает вид $-(x-8{)}^2(x+8)⩾0.$ Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $(x-8{)}^2(x+8)⩽0.$
3. 3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $-8$, $8$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4. 4При $x>8$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $8$: там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(-\infty ;-8)$: «$-$», $(-8;8)$: «$+$», $(8;+\infty )$: «$+$».
5. 5Выбираем промежутки со знаком «$-$» и закрашенные точки: $x⩽-8$ или $x=8$. Точка $8$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
6. 6Ответ: $(-\infty ;-8]\cup \{8\}$.

Ответ: $\{-6\}\cup [-2;2]$

1. 1Разложим трёхчлены на множители (по теореме, обратной теореме Виета): $x^2+8x+12=(x+6)(x+2)$, $x^2+4x-12=(x+6)(x-2)$.
2. 2Множитель $x+6$ встречается дважды, неравенство принимает вид $(x+6{)}^2(x+2)(x-2)⩽0.$
3. 3Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $-6$, $-2$, $2$ закрашенные (левая часть в них равна нулю, неравенство нестрогое).
4. 4При $x>2$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $-6$: там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(-\infty ;-6)$: «$+$», $(-6;-2)$: «$+$», $(-2;2)$: «$-$», $(2;+\infty )$: «$+$».
5. 5Выбираем промежутки со знаком «$-$» и закрашенные точки: $x=-6$ или $-2⩽x⩽2$. Точка $-6$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
6. 6Ответ: $\{-6\}\cup [-2;2]$.

Ответ: $(-\infty ;-7)\cup \{6\}$

1. 1Неравенство имеет смысл при $x\ne -7$. Числитель свернём по формуле квадрата разности: $x^2-12x+36=(x-6{)}^2$. Неравенство принимает вид $\frac{(x-6{)}^2}{x+7}⩽0.$
2. 2Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки: $6$ закрашенная (левая часть в ней равна нулю, неравенство нестрогое); $-7$ выколотая (в ней знаменатель равен нулю).
3. 3При $x>6$ все множители положительны, поэтому левая часть положительна. При переходе через каждую точку знак меняется, кроме точки $6$: там множитель стоит в квадрате. Знаки на промежутках слева направо: $(-\infty ;-7)$: «$-$», $(-7;6)$: «$+$», $(6;+\infty )$: «$+$».
4. 4Выбираем промежутки со знаком «$-$» и закрашенные точки: $x<-7$ или $x=6$. Точка $6$ входит в ответ отдельно: левая часть в ней равна нулю.
5. 5Ответ: $(-\infty ;-7)\cup \{6\}$.

Ответ: $(-\infty ;4)\cup (4;9]$

1. 1Неравенство имеет смысл при $x\ne 4$. Разложим числитель на множители (корни $4$ и $9$ по теореме, обратной теореме Виета): $\frac{(x-4)(x-9)}{x-4}⩽0.$
2. 2При $x\ne 4$ дробь можно сократить на $x-4$: $x-9⩽0$, то есть $x⩽9$.
3. 3Точка $4$ лежит на луче $x⩽9$, её нужно выколоть. Получаем: $x<4$ или $4<x⩽9$.
4. 4Ответ: $(-\infty ;4)\cup (4;9]$.