Начальные геометрические сведения: точки, прямые, отрезки, лучи

Точка — базовый объект геометрии; она не имеет ни длины, ни ширины, ни высоты. На чертеже точку обозначают маленьким кружком или жирной точкой и подписывают заглавной латинской буквой: $A$, $B$, $M$, $K$ и т.д.

Точка задаёт положение на плоскости или в пространстве, но не занимает никакой площади.

Взаимное расположение точек:

• Две точки всегда определяют прямую, и притом единственную.
• Три точки могут лежать на одной прямой (коллинеарные) или не лежать (неколлинеарные).

Пример обозначения: «точка $A$», «точки $M$ и $N$», «точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой».

Прямая — бесконечная линия, не имеющая ни начала, ни конца; она уходит в обе стороны неограниченно. На чертеже прямую обозначают строчной латинской буквой ($a$, $b$, $l$) или двумя точками, через которые она проходит — $AB$, $MN$.

Основные факты о прямой:

• Через две различные точки проходит единственная прямая. Это аксиома — принимается без доказательства.
• Точка может лежать на прямой или не лежать на ней. Пишут: точка $A$ лежит на прямой $a$ (обозначение $A\in a$) или не лежит ($A\notin a$).
• Две прямые на плоскости либо пересекаются (имеют одну общую точку), либо параллельны (не имеют общих точек), либо совпадают.

Обозначение параллельности: $a\parallel b$ («прямая $a$ параллельна прямой $b$»).

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка.

Отрезок $AB$ — это множество всех точек прямой, расположенных между точками $A$ и $B$, включая сами точки $A$ и $B$.

Длина отрезка — расстояние между его концами; обозначается $AB$ или $|AB|$. Длина — всегда неотрицательное число.

Равные отрезки: два отрезка равны, если их длины совпадают. Обозначение: $AB=CD$.

Середина отрезка — точка $M$, которая лежит на отрезке $AB$ и делит его на два равных отрезка: $AM=MB=\frac{AB}{2}$.

Сравнение отрезков: отрезок $AB$ больше отрезка $CD$, если $AB>CD$. Откладывать и сравнивать отрезки удобно с помощью циркуля и линейки.

Сложение отрезков: если точка $C$ лежит на отрезке $AB$ между $A$ и $B$, то $AC+CB=AB$.

Луч — часть прямой, имеющая начало (одну граничную точку) и уходящая в одном направлении бесконечно.

Луч $AB$ начинается в точке $A$ (начало луча) и проходит через точку $B$, продолжаясь за неё неограниченно. Точка $A$ лежит на луче, точка $B$ тоже лежит на луче, а вот вся часть прямой по другую сторону от $A$ к лучу $AB$ уже не относится.

Обозначение луча: $\overrightarrow{AB}$ или «луч $AB$» — первая буква всегда начало луча.

Противоположные лучи: два луча называют противоположными, если они выходят из одной точки и лежат на одной прямой (направлены в разные стороны). Вместе они образуют полную прямую.

Как луч отличается от прямой и отрезка:

Расстояние между точками $A$ и $B$ — это длина отрезка $AB$. Его измеряют линейкой в единицах длины (мм, см, м).

Эти аксиомы объясняют, почему задача «найдите точку $C$ на луче $OX$, такую что $OC=5$ см» всегда имеет ровно одно решение.

Практическое правило: если точка $C$ лежит на отрезке $AB$ (между $A$ и $B$), то всегда выполняется равенство $AC+CB=AB$. Это свойство используют при решении задач на нахождение длин частей отрезка.