Теорема косинусов: задания и примеры с ответами, 9 класс

0 из 10

Теорема косинусов

…

Примеры заданий с ответами

1Найдите сторону

B C

треугольника

A B C

, если

A C = 7

A B = 40

∠ A = 60°

По теореме косинусов: $B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 \cdot A C \cdot A B \cdot cos A$ , где $cos 60° = \frac{1}{2}$ .
$B C^{2} = 7^{2} + 4 0^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 40 \cdot \frac{1}{2} = 49 + 1600 - 280 = 1369$ .
$B C = 1369 = 37$ .

Ответ: 37

2Стороны треугольника равны

24

40

32

. Найдите наибольший угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

Наибольший угол лежит против наибольшей стороны, то есть против стороны $40$ .
По теореме косинусов: $cos α = \frac{2 4 ^{2} + 3 2 ^{2} - 4 0 ^{2}}{2 \cdot 24 \cdot 32} = \frac{576 + 1024 - 1600}{1536} = \frac{0}{1536} = 0$ .
$α = 90°$ .

Ответ: 90

3В треугольнике

A B C

известно:

A B = 5

A C = 4

B C = 7

. Найдите косинус угла

A

По теореме косинусов $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos A$ , откуда $cos A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C}$ .
$cos A = \frac{25 + 16 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{- 8}{40} = - 0, 2$ .

Ответ: -0,2

4Две стороны треугольника, угол между которыми равен

120°

, относятся как

16 : 5

. Найдите третью сторону, если периметр треугольника равен

40

Пусть стороны равны $16 x$ и $5 x$ . По теореме косинусов квадрат третьей стороны: $256 x^{2} + 25 x^{2} + 80 x^{2} = 361 x^{2}$ , сама сторона $19 x$ .
Периметр: $16 x + 5 x + 19 x = 40 x = 40$ , $x = 1$ .
Стороны: $16$ , $5$ , $19$ . Третья сторона: $19$ .

Ответ: 19

5В треугольнике

A B C

известно:

A B = 33

B C = 17

A C = 20

. Найдите медиану

C M

Медиана к стороне $c$ : $m_{c}^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}$ (достроим треугольник до параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон).
$m^{2} = \frac{2 \cdot 289 + 2 \cdot 400 - 1089}{4} = \frac{289}{4}$ .
$m = \frac{289}{2} = \frac{17}{2} = 8, 5$ .

Ответ: 8,5

6На стороне

A B

прямоугольного треугольника

A B C

(

∠ C = 90°

A C = 6

B C = 8

) отметили точку

D

так, что

A D = 5

. Найдите отрезок

C D

По теореме Пифагора $A B = 36 + 64 = 10$ , $cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{6}{10} = 0, 6$ .
Из треугольника $A C D$ : $C D^{2} = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot cos A = 36 + 25 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 0, 6 = 36 + 25 - 36 = 25$ .
$C D = 25 = 5$ .

Ответ: 5