Теорема синусов: задания и примеры с ответами, 9 класс

0 из 10

Теорема синусов

…

Примеры заданий с ответами

1Какое равенство верно для любого треугольника

A B C

? (

R

обозначает радиус описанной окружности.)

Теорема синусов: $\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B} = \frac{A B}{sin C} = 2 R$ .
$\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B}$ : верно, стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
$\frac{B C}{sin B} = \frac{A C}{sin A}$ : неверно, углы взяты не противолежащие: против $B C$ лежит угол $A$ .
$\frac{A C}{s i n B} = R$ : неверно, отношение равно $2 R$ , а не $R$ .
$\frac{B C}{cos A} = \frac{A C}{cos B}$ : неверно, в теореме синусы, а не косинусы.

Ответ:

\frac{B C}{sin A} = \frac{A C}{sin B}

2В треугольнике

D E F

∠ D = 45°

∠ E = 30°

E F = 92

. Найдите сторону

D F

По теореме синусов $\frac{E F}{sin D} = \frac{D F}{sin E}$ , откуда $D F = \frac{E F \cdot sin E}{sin D}$ .
$sin 45° = \frac{2}{2}$ , $sin 30° = \frac{1}{2}$ .
$D F = \frac{9 2 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{2}} = 9$ .

Ответ: 9

3Найдите угол

A

треугольника

A B C

, если

A C = 32

B C = 33

∠ B = 45°

. Сколько решений имеет задача?

По теореме синусов $sin A = \frac{B C \cdot sin B}{A C} = \frac{3 3 \cdot \frac{2}{2}}{3 2} = \frac{3}{2}$ .
Синус равен $\frac{3}{2}$ у углов $60°$ и $120°$ .
$60° + 45° < 180°$ : подходит; $120° + 45° < 180°$ : подходит.
Решений: два.

Ответ: Два

4В треугольнике

A B C

A B = 12

B C = 18

sin A = 0, 6

. Найдите синус угла

C

По теореме синусов $\frac{B C}{sin A} = \frac{A B}{sin C}$ , откуда $sin C = \frac{A B \cdot sin A}{B C}$ .
$sin C = \frac{12 \cdot 0 , 6}{18} = \frac{7 , 2}{18} = 0, 4$ .

Ответ: 0,4

5Сторона треугольника равна

6

, а радиус описанной около него окружности равен

32

. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне, если он тупой. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов $\frac{a}{s i n α} = 2 R$ , откуда $sin α = \frac{a}{2 R} = \frac{6}{2 \cdot 3 2} = \frac{2}{2}$ .
Синус равен $\frac{2}{2}$ у углов $45°$ и $135°$ , по условию угол тупой.
$α = 135°$ .

Ответ: 135

6В равнобокой трапеции основания равны

28

8

, а высота равна

24

. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Пусть $A D = 28$ , $B C = 8$ , $B M$ является высотой. $A M = \frac{A D - B C}{2} = 10$ , $M D = \frac{A D + B C}{2} = 18$ .
В треугольнике $A B M$ : $A B = 1 0^{2} + 2 4^{2} = 26$ , $sin A = \frac{B M}{A B} = \frac{24}{26}$ .
В треугольнике $M B D$ : $B D = 2 4^{2} + 1 8^{2} = 30$ .
Окружность, описанная около трапеции, описана и около треугольника $A B D$ : $B D = 2 R sin A$ , $R = \frac{B D}{2 sin A} = \frac{30}{2 \cdot \frac{24}{26}} = \frac{780}{48} = 16, 25$ .

Ответ: 16,25