Решение задач с помощью квадратных уравнений: задания

0 из 10

Решение задач с помощью квадратных уравнений

…

Примеры заданий с ответами

1Произведение двух последовательных натуральных чисел равно

156

. Найди меньшее из них.

Пусть меньшее число $n$ , тогда следующее $n + 1$ . Их произведение: $n (n + 1) = 156$ .
Получаем $n^{2} + n - 156 = 0$ . По дискриминанту $D = 1 + 624 = 625$ , $D = 25$ , корень $n = \frac{- 1 + 25}{2} = 12$ .
Проверка: $12 \cdot 13 = 156$ . Меньшее число равно $12$ .
Ответ: $12$ .

2Произведение двух последовательных нечётных натуральных чисел равно

63

. Найди меньшее из них.

Пусть меньшее нечётное число равно $n$ , тогда следующее — $n + 2$ , и $n (n + 2) = 63$ .
Раскрываем: $n^{2} + 2 n - 63 = 0$ ; корни $n = 7$ и $n = - 9$ , подходит натуральное $n = 7$ .
Проверка: $7 \cdot 9 = 63$ .
Ответ: $7$ .

3В прямоугольном треугольнике один катет на

7

см больше другого, а площадь равна

30

см². Найди гипотенузу (в см).

Пусть меньший катет $x$ см, больший $x + 7$ см. Площадь: $\frac{1}{2} x (x + 7) = 30$ , то есть $x (x + 7) = 60$ .
Решаем $x^{2} + 7 x - 60 = 0$ , $D = 289$ , корень $x = \frac{- 7 + 17}{2} = 5$ . Катеты $5$ см и $12$ см.
По теореме Пифагора гипотенуза $5^{2} + 1 2^{2} = 169 = 13 см$ .
Ответ: $13$ .

4Имеется

40

г раствора соли с концентрацией

20%

. После того как испарилось

x

г воды, концентрация соли стала на

5%

больше, то есть

25%

. Сколько граммов воды испарилось?

В растворе $40 \cdot 0, 2 = 8$ г соли (доля соли $0, 2$ ). После испарения $x$ г воды масса раствора $40 - x$ , а соль не изменилась, поэтому новая доля $\frac{8}{40 - x}$ , и по условию она на $0, 05$ больше: $\frac{8}{40 - x} = \frac{8}{40} + 0, 05$ .
Справа $0, 2 + 0, 05 = 0, 25$ , значит $\frac{8}{40 - x} = 0, 25$ , отсюда $40 - x = \frac{8}{0 , 25} = 32$ .
Получаем $x = 8$ г воды.
Ответ: $8$ .

5Катер прошёл

48

км по течению за время на

1

ч меньше, чем против течения. Если за

x

взять собственную скорость катера (в стоячей воде), а скорость течения равна

v

, чему равно время движения по течению? В ответ впиши выражение.

За $x$ берут собственную скорость катера; тогда скорость по течению $x + v$ , против течения $x - v$ .
Время движения по течению — это путь, делённый на скорость по течению.
Значит время по течению равно $\frac{48}{x + v}$ .
Ответ: $\frac{48}{x + v}$ .

6В трапеции большее основание на

4

см больше меньшего, высота равна меньшему основанию, а площадь равна

35

см². Найди меньшее основание (в см).

Пусть меньшее основание и высота $b$ , большее основание $b + 4$ . Площадь $\frac{b + ( b + 4 )}{2} \cdot b = (b + 2) b$ .
$b^{2} + 2 b = 35$ , $b^{2} + 2 b - 35 = 0$ .
$D = 4 + 140 = 144$ , $b = \frac{- 2 + 12}{2} = 5$ .
Ответ: $5$ .