Рациональные неравенства (метод интервалов), 9 класс: задания

0 из 10

Рациональные неравенства (метод интервалов)

…

Примеры заданий с ответами

1Какой знак имеет выражение

x - 4

при

x = 1

? (введи + или −)

2Реши неравенство

(x - 1) (x - 4) > 0

. Запиши наименьшую целую точку правого промежутка решения.

3Реши

\frac{1}{x - 2} > \frac{1}{x - 1}

. Запиши ответ.

Переносим всё влево: $\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} > 0$ и приводим к общему знаменателю.
В числителе $(x - 1) - (x - 2) = 1$ , значит $\frac{1}{( x - 2 ) ( x - 1 )} > 0$ .
Числитель $1 > 0$ , поэтому нужно $(x - 2) (x - 1) > 0$ — это выполняется вне корней: $x < 1$ или $x > 2$ .
Ответ: $x < 1$ или $x > 2$ .

4Реши неравенство

\frac{x - 1}{x - 4} \geq 0

. Запиши ответ (используй знаки

\leq

>

и слово «или»).

Находим нули: числитель $x - 1 = 0$ при $x = 1$ , знаменатель $x - 4 = 0$ при $x = 4$ .
Методом интервалов дробь $\geq 0$ на крайних промежутках.
Точку $1$ берём (числитель может быть $0$ ), а $4$ всегда выколота (на ноль делить нельзя).
Ответ: $x \leq 1$ или $x > 4$ .

5Найди сумму целых решений неравенства

(x + 1) x (x - 2) (x - 4) \leq 0

, принадлежащих отрезку

[- 1; 4]

Корни выражения: $x = - 1, 0, 2, 4$ ; расставляем знаки методом интервалов.
Произведение $\leq 0$ на промежутках $[- 1; 0]$ и $[2; 4]$ .
Целые решения из $[- 1; 4]$ : $- 1, 0, 2, 3, 4$ ; их сумма $- 1 + 0 + 2 + 3 + 4 = 8$ .
Ответ: $8$ .

6Найди все целые

a \in [- 3; 3]

, при которых неравенство

\frac{x ^{2} + 1}{x - a} < 0

не имеет решений в области

x > a

. Сколько таких

a

Числитель $x^{2} + 1 > 0$ при любом $x$ , поэтому $\frac{x ^{2} + 1}{x - a} < 0$ равносильно $x - a < 0$ , то есть $x < a$ .
В области $x > a$ условие $x < a$ невыполнимо — решений там нет ни при каком $a$ .
Значит подходят все целые $a$ из $[- 3; 3]$ : $- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ — их $7$ .
Ответ: $7$ .