Прямоугольник, ромб, квадрат

Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, он наследует все его свойства: противоположные стороны равны и параллельны, диагонали точкой пересечения делятся пополам. К этому добавляются специальные свойства прямоугольника:

• Все четыре угла равны $90^{\circ }$.
• Диагонали равны: $d_1=d_2$.
• Диагонали точкой пересечения делятся на равные части, и каждая половина диагонали равна половине самой диагонали.

Почему диагонали равны? Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Треугольники $ABC$ и $DCB$ имеют общую сторону $BC$, равные стороны $AB=DC$ (как противоположные стороны параллелограмма) и равные углы $\angle ABC=\angle DCB=90^{\circ }$. По признаку равенства треугольников (два катета) $△ABC=△DCB$, поэтому $AC=DB$.

Обозначим сторону ромба $a$. Ромб также наследует свойства параллелограмма, но имеет особые свойства:

• Все четыре стороны равны: $AB=BC=CD=DA=a$.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: $d_1\perp d_2$.
• Диагонали являются биссектрисами углов ромба — каждая диагональ делит свой угол пополам.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам (как у любого параллелограмма).

Почему диагонали перпендикулярны? Пусть диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $AOB$: $OA=OC$ (половины диагонали), $OB=OD$ (половины диагонали), $AB=BC=a$. По признаку (три стороны) $△AOB=△COB$, откуда $\angle AOB=\angle COB$. Так как $\angle AOB+\angle COB=180^{\circ }$, каждый из них равен $90^{\circ }$.

Таким образом, квадрат — самая «правильная» из рассматриваемых фигур: он одновременно является и прямоугольником, и ромбом.

Диагональ квадрата со стороной $a$ находится по теореме Пифагора: $d=a\sqrt{2}$, так как она — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $a$.

Площадь каждой фигуры вычисляется по своей формуле.

Прямоугольник со сторонами $a$ и $b$: $S=a\cdot b$

Ромб можно рассчитать двумя способами:

• через основание и высоту: $S=a\cdot h$, где $h$ — высота (перпендикуляр между параллельными сторонами);
• через диагонали: $S=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

Квадрат со стороной $a$:

• $S=a^2$
• или через диагональ $d$: $S=\frac{d^2}{2}$.

Формула через диагонали работает и для ромба, и для квадрата — это удобно, когда стороны неизвестны, а диагонали заданы.

Важно понимать иерархию: каждая следующая фигура — частный случай предыдущей.

• Параллелограмм — общий случай.
• Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами.
• Ромб — параллелограмм с равными сторонами.
• Квадрат — одновременно прямоугольник и ромб.

Это означает: все свойства параллелограмма верны для прямоугольника, ромба и квадрата. Свойства прямоугольника верны для квадрата. Свойства ромба верны для квадрата. Но обратное неверно: ромб — не обязательно прямоугольник.