8 класс Геометрия 9 мин чтения

Осевая и центральная симметрия

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Осевая и центральная симметрия — это два вида преобразований плоскости, при которых фигура отображается на равную ей фигуру относительно прямой или точки.

Проверь себя · 1 из 3

Найдите ординату точки, симметричной точке

A (4; 2)

относительно оси абсцисс.

Симметрию видно повсюду: крылья бабочки, снежинка, буквы «А» и «О», фасады зданий — всё это примеры симметрии. Знание этих преобразований помогает строить чертежи, доказывать равенство фигур и решать задачи на нахождение точек и расстояний.

симметрия сохраняет форму и размеры фигуры

Содержание 9

Осевая симметрия: определение и построение

Определение. Две точки

A

A_{1}

называются симметричными относительно прямой $l$ , если прямая

l

является серединным перпендикуляром отрезка

A A_{1}

Прямую $l$ называют осью симметрии.

Если точка $A$ лежит на прямой $l$ , то она симметрична сама себе.

Как построить точку, симметричную точке $A$ относительно прямой $l$ :

Из точки $A$ провести перпендикуляр к прямой $l$ ; пусть основание перпендикуляра — точка $H$ .
Отложить на этом перпендикуляре от точки $H$ отрезок $H A_{1} = H A$ по другую сторону от $l$ .
Полученная точка $A_{1}$ и есть симметричная.

Симметричная фигура. Фигура $F_{1}$ называется симметричной фигуре $F$ относительно прямой $l$ , если каждой точке $A$ фигуры $F$ соответствует точка $A_{1}$ фигуры $F_{1}$ , симметричная точке $A$ относительно $l$ .

Ключевое свойство: при осевой симметрии сохраняются расстояния между точками, поэтому симметричные фигуры равны (конгруэнтны).

Свойства осевой симметрии

Свойство 1. Симметричные точки равноудалены от оси:

A H = A_{1} H

, где

H

— основание перпендикуляра из

A

на ось.

Свойство 2. Отрезок

A A_{1}

перпендикулярен оси симметрии

l

и делится ею пополам.

Свойство 3. Если фигура совпадает со своей симметричной относительно прямой

l

, то говорят, что фигура обладает осью симметрии $l$ .

Примеры фигур и их осей симметрии:

Равнобедренный треугольник — 1 ось (биссектриса, она же медиана и высота из вершины при основании).
Прямоугольник — 2 оси (через середины противоположных сторон).
Ромб — 2 оси (диагонали).
Квадрат — 4 оси.
Окружность — бесконечно много осей (любой диаметр).

Свойство 4. При осевой симметрии угол и его образ равны:

∠ A B C = ∠ A_{1} B_{1} C_{1}

. Порядок вершин (ориентация) меняется на противоположный — фигура как бы «переворачивается».

Центральная симметрия: определение и построение

Определение. Две точки

A

A_{1}

называются симметричными относительно точки $O$ , если

O

является серединой отрезка

A A_{1}

Точку $O$ называют центром симметрии.

Если $A$ совпадает с $O$ , то $A$ симметрична самой себе.

Как построить точку $A_{1}$ , симметричную точке $A$ относительно центра $O$ :

Соединить точки $A$ и $O$ прямой.
Отложить от $O$ отрезок $O A_{1} = O A$ на луче, противоположном $O A$ .

Значит: $O$ — середина $A A_{1}$ , то есть $O A = O A_{1}$ .

Симметричная фигура. Фигура $F_{1}$ симметрична фигуре $F$ относительно точки $O$ , если каждой точке $A \in F$ соответствует точка $A_{1} \in F_{1}$ такая, что $O$ — середина $A A_{1}$ .

Ключевое свойство: при центральной симметрии также сохраняются расстояния, поэтому симметричные фигуры равны. В отличие от осевой, ориентация фигуры не меняется — фигура «переносится через точку», не переворачиваясь.

Свойства центральной симметрии

Свойство 1. Точка симметрична самой себе только если она совпадает с центром

O

Свойство 2. Если фигура совпадает со своей симметричной относительно точки

O

, то

O

называют центром симметрии фигуры.

Примеры фигур с центром симметрии:

Отрезок — его центр симметрии — середина.
Параллелограмм — центр симметрии — точка пересечения диагоналей.
Прямоугольник, ромб, квадрат — тоже, так как они являются параллелограммами.
Окружность — центр круга.
Правильный $n$ -угольник при чётном $n$ — центр.

Свойство 3. При центральной симметрии прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя, если она проходит через центр).

Свойство 4 (координатная запись). Если центр симметрии — начало координат

O (0, 0)

, то точке

A (x, y)

соответствует

A_{1} (- x, - y)

. В общем случае при центре

O (a, b)

: координаты симметричной точки —

A_{1} (2 a - x, 2 b - y)

Осевая и центральная симметрия: сравнение

Обе симметрии — это движения плоскости (изометрии): они сохраняют расстояния и углы, а значит, симметричные фигуры всегда равны исходным.

Признак	Осевая	Центральная
Элемент	прямая $l$	точка $O$
Ориентация	меняется	сохраняется
Прямая $∥ l$	переходит в себя или $∥$	переходит в $∥$

Важное следствие. Две осевые симметрии с параллельными осями дают параллельный перенос. Две осевые симметрии с пересекающимися осями дают поворот. Центральная симметрия равносильна двум осевым симметриям с взаимно перпендикулярными осями, проходящими через центр.

Ключевые формулы

A H = A_{1} H

Расстояние от точки до оси: точка и образ равноудалены от оси

O A = O A_{1}

Центральная симметрия: центр — середина отрезка из точки и её образа

A_{1} (2 a - x, 2 b - y)

Координаты образа при центральной симметрии относительно O(a, b)

A (x, y) O A_{1} (- x, - y)

Частный случай: центр в начале координат O(0,0)

Запомни

При осевой симметрии отрезок $A A_{1}$ перпендикулярен оси и делится ею пополам.
При центральной симметрии центр $O$ является серединой отрезка $A A_{1}$ .
Обе симметрии сохраняют длины и углы: симметричные фигуры равны.
Осевая симметрия меняет ориентацию фигуры, центральная — нет.
Центр симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Точка

A (3, 1)

отмечена в координатной плоскости. Найдите точку

A_{1}

, симметричную точке

A

относительно оси

O y

(ось

y

Ось симметрии — вертикальная прямая $x = 0$ (ось $O y$ ).
Из точки $A (3, 1)$ опускаем перпендикуляр на ось $O y$ ; основание — точка $H (0, 1)$ .
Расстояние $A H = 3 - 0 = 3$ .
Откладываем такое же расстояние по другую сторону от оси: $A_{1} H = 3$ , значит $A_{1} (- 3, 1)$ .
Проверка: середина $A A_{1}$ — точка $(\frac{3 + ( - 3 )}{2}, \frac{1 + 1}{2}) = (0, 1)$ , лежит на оси $O y$ — верно.

Ответ:

A_{1} (- 3, 1)

Пример 2

Дан отрезок

A B

, где

A (1, 2)

B (5, 4)

. Постройте отрезок

A_{1} B_{1}

, симметричный

A B

относительно центра

O (3, 3)

. Найдите координаты

A_{1}

B_{1}

Используем формулу центральной симметрии: $A_{1} (2 \cdot 3 - x_{A}, 2 \cdot 3 - y_{A})$ .
$A_{1} (6 - 1, 6 - 2) = A_{1} (5, 4)$ .
$B_{1} (6 - 5, 6 - 4) = B_{1} (1, 2)$ .
Замечаем, что $A_{1} = B$ и $B_{1} = A$ : отрезок $A_{1} B_{1}$ совпадает с отрезком $A B$ (центр $O (3, 3)$ — середина $A B$ , значит $A B$ симметричен сам себе).
Проверка середины $A B$ : $(\frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 4}{2}) = (3, 3) = O$ — подтверждает.

Ответ:

A_{1} (5, 4)

B_{1} (1, 2)

; отрезок совпадает с исходным.

Пример 3

Треугольник

A B C

имеет вершины

A (0, 0)

B (4, 0)

C (2, 3)

. Постройте треугольник

A_{1} B_{1} C_{1}

, симметричный треугольнику

A B C

относительно прямой

x = 4

(вертикальная прямая). Найдите координаты вершин

A_{1}

B_{1}

C_{1}

Ось симметрии — прямая $x = 4$ .
Для каждой вершины: $x_{1} = 2 \cdot 4 - x = 8 - x$ , $y_{1} = y$ .
$A_{1} (8 - 0, 0) = A_{1} (8, 0)$ .
$B_{1} (8 - 4, 0) = B_{1} (4, 0)$ .
$C_{1} (8 - 2, 3) = C_{1} (6, 3)$ .
Вершина $B_{1}$ совпадает с $B$ , так как $B$ лежит на оси симметрии ( $x = 4$ ).
Проверка: $∣ A B ∣ = 4$ , $∣ A_{1} B_{1} ∣ = ∣8 - 4∣ = 4$ — длины равны, фигуры конгруэнтны.

Ответ:

A_{1} (8, 0)

B_{1} (4, 0)

C_{1} (6, 3)

Пример 4

На прямой

l

отмечены точки

M

N

. Точка

P

не лежит на

l

. Известно, что

P M = 5

см,

P N = 7

см,

M N = 6

см. Точка

P_{1}

симметрична точке

P

относительно прямой

l

. Найдите

P_{1} M

P_{1} N

P_{1} P

, если основание перпендикуляра из

P

на

l

— точка

H

, а

P H = 4

см.

По определению осевой симметрии $P_{1} H = P H = 4$ см, причём $P_{1} H ⊥ l$ .
Так как $P M = 5$ и $P H = 4$ , по теореме Пифагора: $H M^{2} = P M^{2} - P H^{2} = 25 - 16 = 9$ , откуда $H M = 3$ см.
Аналогично $H N^{2} = P N^{2} - P H^{2} = 49 - 16 = 33$ , откуда $H N = 33$ см.
Треугольники $P H M$ и $P_{1} H M$ равны по двум катетам ( $P H = P_{1} H$ , $H M = H M$ , угол прямой), значит $P_{1} M = P M = 5$ см.
Аналогично $P_{1} N = P N = 7$ см.
Длина $P P_{1} = 2 \cdot P H = 2 \cdot 4 = 8 см$ .

Ответ:

P_{1} M = 5

см,

P_{1} N = 7

см,

P P_{1} = 8

см.

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают ось симметрии и центр симметрии: при осевой строят перпендикуляр к прямой, при центральной — откладывают равное расстояние от точки.
При построении симметричной точки забывают, что $A H = A_{1} H$ строго по перпендикуляру, а не по произвольному отрезку до оси.
Считают, что любая фигура имеет центр симметрии. Равнобедренный треугольник, например, имеет ось симметрии, но не имеет центра.
В координатах при центре не в начале координат применяют формулу $A_{1} (- x, - y)$ вместо правильной $A_{1} (2 a - x, 2 b - y)$ .