8 класс Геометрия 7 мин чтения

Ромб

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Ромб — это параллелограмм, у которого все четыре стороны равны, и он обладает рядом особых свойств диагоналей и углов.

Проверь себя · 1 из 3

Дан четырёхугольник

C A K D

. Какие вершины являются соседними с вершиной

K

Форму ромба можно встретить повсюду: в орнаментах на тканях, в разметке паркета, в гербах и дорожных знаках. Изучив ромб, вы научитесь быстро находить его площадь, углы и диагонали — это пригодится и в задачах ОГЭ, и в реальной жизни.

все стороны равны; диагонали ⊥ и делятся пополам; S = d₁·d₂ / 2

Содержание 9

Определение и связь с параллелограммом

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, он наследует все свойства параллелограмма:

Противоположные стороны параллельны и равны.
Противоположные углы равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Но у ромба есть дополнительные свойства, которых нет у произвольного параллелограмма. Именно они делают ромб особенным и удобным для вычислений.

Свойства диагоналей ромба

Свойство 1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны:

d_{1} ⊥ d_{2}

Свойство 2. Каждая диагональ ромба является биссектрисой соответствующей пары углов.

Почему это так? Рассмотрим ромб $A B C D$ с диагональю $A C$ . Треугольники $A B C$ и $A D C$ равнобедренные (стороны ромба равны), и диагональ $A C$ — общая сторона. По признаку «сторона-сторона-сторона» треугольники $A B C$ и $A D C$ равны, поэтому $∠ B A C = ∠ D A C$ и $∠ B C A = ∠ D C A$ . Значит, $A C$ делит углы $A$ и $C$ пополам.

Перпендикулярность диагоналей следует из того, что $A C$ — ось симметрии ромба: точка $B$ симметрична точке $D$ относительно $A C$ , поэтому $B D ⊥ A C$ .

Следствие. Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Если

d_{1}

d_{2}

— диагонали, то катеты каждого такого треугольника равны

\frac{d _{1}}{2}

\frac{d _{2}}{2}

, а гипотенуза — стороне ромба

a

Связь стороны и диагоналей

Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, по теореме Пифагора для половин диагоналей и стороны ромба выполняется равенство:

$a^{2} = (\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2}$

Откуда:

$4 a^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2}$

Эта формула позволяет находить любое из трёх значений ( $a$ , $d_{1}$ , $d_{2}$ ), если известны два других.

Углы ромба

У ромба, как у любого параллелограмма, сумма смежных углов равна $18 0^{\circ}$ :

$∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ}$

Кроме того, каждая диагональ является биссектрисой, поэтому:

$∠ B A C = ∠ D A C = \frac{∠ A}{2}$

Частный случай: если все углы ромба прямые ( $9 0^{\circ}$ ), ромб превращается в квадрат. Квадрат — это одновременно ромб и прямоугольник.

Площадь ромба

Площадь ромба можно найти тремя способами.

Способ 1 — через диагонали. Так как диагонали перпендикулярны, ромб распадается на четыре прямоугольных треугольника. Сумма их площадей даёт:

$S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$

Способ 2 — через основание и высоту (как у любого параллелограмма):

$S = a \cdot h$

где $h$ — высота ромба (перпендикуляр между двумя параллельными сторонами).

Способ 3 — через сторону и угол:

$S = a^{2} \cdot sin α$

где $α$ — любой из углов ромба. Используется, когда известны сторона и угол, но не диагонали.

Ключевые формулы

S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}

Площадь через диагонали

S = a \cdot h

Площадь через сторону и высоту

S = a^{2} \cdot sin α

Площадь через сторону и угол

4 a^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2}

Связь стороны и диагоналей (теорема Пифагора)

Запомни

Ромб — параллелограмм со всеми равными сторонами, поэтому все свойства параллелограмма выполняются.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Каждая диагональ ромба — биссектриса соответствующих углов.
Квадрат — частный случай ромба (когда все углы равны $9 0^{\circ}$ ).
Диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника — это ключ к большинству задач.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Дан ромб со стороной

a = 5

см. Одна диагональ равна

d_{1} = 6

см. Найдите вторую диагональ

d_{2}

и площадь ромба.

Подсказка: Диагонали ромба делятся пополам в точке пересечения, поэтому применяем теорему Пифагора к половинам диагоналей и стороне.

По формуле связи стороны и диагоналей: $4 a^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2}$ .
Подставляем известные значения: $4 \cdot 5^{2} = 6^{2} + d_{2}^{2}$ , то есть $100 = 36 + d_{2}^{2}$ .
Отсюда $d_{2}^{2} = 100 - 36 = 64$ , значит $d_{2} = 8$ см.
Площадь ромба: $S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ кв. см.

Ответ:

d_{2} = 8

см,

S = 24

кв. см.

Пример 2

Диагонали ромба равны

d_{1} = 10

см и

d_{2} = 24

см. Найдите сторону ромба и периметр.

Диагонали делятся пополам: половины равны $\frac{d _{1}}{2} = 5$ см и $\frac{d _{2}}{2} = 12$ см.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного полудиагоналями и стороной ромба: $a^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169$ .
Отсюда $a = 169 = 13$ см.
Периметр ромба: $P = 4 a = 4 \cdot 13 = 52 см$ .

Ответ:

a = 13

см,

P = 52

см.

Пример 3

Один из углов ромба равен

6 0^{\circ}

. Сторона ромба

a = 8

см. Найдите площадь ромба и длины диагоналей.

Площадь через сторону и угол: $S = a^{2} \cdot sin 6 0^{\circ} = 64 \cdot \frac{3}{2} = 323$ кв. см.
Диагональ, делящая угол $6 0^{\circ}$ пополам, образует с каждой стороной угол $3 0^{\circ}$ . В треугольнике из стороны $a = 8$ , угла $3 0^{\circ}$ и угла $9 0^{\circ}$ : меньший катет (половина $d_{1}$ ) равен $a \cdot sin 3 0^{\circ} = 8 \cdot 0, 5 = 4$ , поэтому $d_{1} = 8$ см.
Второй угол ромба: $18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ . Аналогично для $d_{2}$ : полудиагональ равна $a \cdot sin 6 0^{\circ} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 43$ , поэтому $d_{2} = 83$ см.
Проверка через диагонали: $S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} = \frac{8 \cdot 8 3}{2} = 323$ кв. см — совпадает.

Ответ:

S = 323

кв. см,

d_{1} = 8

см,

d_{2} = 83

см.

Пример 4

В ромбе

A B C D

диагональ

A C = 16

см, угол

∠ A B C = 12 0^{\circ}

. Найдите сторону ромба и площадь.

Подсказка: Если дан тупой угол, смежный с ним острый угол равен

18 0^{\circ}

минус тупой. Работайте с острым углом при нахождении стороны через синус.

Диагональ $A C$ делит угол $∠ A B C = 12 0^{\circ}$ пополам (свойство ромба), значит $∠ A B О = 6 0^{\circ}$ , где $O$ — точка пересечения диагоналей.
Рассмотрим треугольник $A B O$ : $∠ A B O = 6 0^{\circ}$ , $∠ A O B = 9 0^{\circ}$ , $A O = \frac{A C}{2} = 8$ см.
В прямоугольном треугольнике $A B O$ : $A O = A B \cdot sin 6 0^{\circ}$ , откуда $A B = \frac{A O}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{8}{\frac{3}{2}} = \frac{16}{3} = \frac{16 3}{3} см$ .
Смежный угол: $∠ B A D = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ . Площадь: $S = a^{2} \cdot sin 6 0^{\circ} = (\frac{16 3}{3})^{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{256 \cdot 3}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{128 3}{3}$ кв. см.
Альтернатива: сначала найти $d_{2}$ . $B O = A B \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{16 3}{3} \cdot 0, 5 = \frac{8 3}{3}$ , тогда $d_{2} = \frac{16 3}{3} см$ . Проверка: $S = \frac{16 \cdot \frac{16 3}{3}}{2} = \frac{128 3}{3}$ кв. см — совпадает.

Ответ:

a = \frac{16 3}{3} см

S = \frac{128 3}{3}

кв. см.

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают формулы площади: пишут $S = d_{1} \cdot d_{2}$ вместо $S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}$ , забывая делить на 2.
Считают, что любой ромб — квадрат (или наоборот). Квадрат — лишь частный случай ромба с прямыми углами.
При нахождении стороны по диагоналям берут $a^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2}$ вместо $4 a^{2} = d_{1}^{2} + d_{2}^{2}$ , забывая, что в теореме Пифагора участвуют ПОЛОВИНЫ диагоналей.
Утверждают, что диагонали ромба равны. Равные диагонали — свойство прямоугольника, а не ромба (кроме квадрата).