Прямоугольник, ромб, квадрат: задания с ответами, 8 класс

0 из 10

Прямоугольник, ромб, квадрат

…

Примеры заданий с ответами

1Дан параллелограмм

A B C D

, у которого

∠ A = ∠ C

. Каким четырёхугольником он обязательно является? Выберите самый точный ответ.

Противоположные углы равны у любого параллелограмма, условие ничего нового не даёт.
Например, параллелограмм со сторонами $3$ и $5$ и углами $60°$ и $120°$ подходит под условие, но не является ни прямоугольником, ни ромбом.
Ответ: только параллелограмм.

2Точка пересечения диагоналей квадрата удалена от его стороны на

2, 8

. Найдите периметр квадрата.

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому треугольник $A O D$ прямоугольный и равнобедренный.
Пусть $O K$ перпендикуляр к стороне $A D$ , $O K = 2, 8$ . В равнобедренном треугольнике $A O D$ высота $O K$ является медианой: $A K = K D$ .
Диагональ квадрата делит его угол пополам: $∠ O A K = 45°$ , значит, в прямоугольном треугольнике $A K O$ $∠ A O K = 45°$ и $A K = O K$ .
Сторона квадрата $A D = 2 \cdot O K = 2 \cdot 2, 8 = 5, 6$ .
Периметр: $4 \cdot 5, 6 = 22, 4$ .

Ответ: 22,4

3Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам. Каким четырёхугольником он обязательно является? Выберите самый точный ответ.

Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Ни равенство диагоналей, ни их перпендикулярность из условия не следуют.
Ответ: параллелограмм.

4Высота

B H

ромба

A B C D

, проведённая из вершины тупого угла, делит сторону

A D

пополам. Найдите меньшую диагональ ромба, если его периметр равен

24

Сторона ромба: $24 : 4 = 6$ .
В треугольнике $A B D$ отрезок $B H$ является и высотой, и медианой, значит, треугольник $A B D$ равнобедренный: $B D = A B$ .
Тогда $A B = A D = B D$ , треугольник $A B D$ равносторонний, $∠ A = 60°$ , и $B D$ является меньшей диагональю ромба (она лежит против острого угла).
Меньшая диагональ равна стороне: $6$ .

Ответ: 6

5Биссектриса угла

B

параллелограмма

A B C D

пересекает сторону

C D

в точке

M

. Серединный перпендикуляр отрезка

B M

пересекает сторону

A B

в точке

N

. Найдите периметр четырёхугольника

B C M N

, если

B N = 2

$B M$ биссектриса: $∠ A B M = ∠ M B C$ . $A B ∥ C D$ , поэтому $∠ A B M = ∠ B M C$ как накрест лежащие. Значит, $∠ M B C = ∠ B M C$ и $C B = C M$ .
$N$ лежит на серединном перпендикуляре к $B M$ , поэтому $N B = N M$ и $∠ N M B = ∠ N B M = ∠ M B C$ .
Углы $N M B$ и $M B C$ накрест лежащие при прямых $N M$ и $B C$ , значит, $N M ∥ B C$ . Ещё $N B ∥ C M$ , поэтому $N B C M$ параллелограмм, а так как $N B = N M$ , это ромб: $B N = N M = M C = C B$ .
Периметр $B C M N$ : $4 \cdot 2 = 8$ .

Ответ: 8

6В прямоугольнике

A B C D

A B = 13

A D = 15

. Биссектрисы углов

A

D

пересекают сторону

B C

в точках

E

F

соответственно. Найдите длину отрезка

E F

Биссектриса делит прямой угол $A$ на углы по $45°$ , в прямоугольном треугольнике $A B E$ $∠ A E B = 45°$ , поэтому $B E = A B = 13$ . Аналогично $C F = C D = 13$ .
$B E + C F = 26 > B C = 15$ , поэтому отрезки $B E$ и $C F$ перекрываются: точки идут в порядке $B$ , $F$ , $E$ , $C$ .
$E F = B E + C F - B C = 26 - 15 = 11$ .

Ответ: 11