Площадь многоугольника. Основные понятия

Площадь — неотрицательное число, которое ставится в соответствие каждому многоугольнику и обозначается $S$.

Основные свойства площади:

1. Неотрицательность: $S\ge 0$; площадь равна нулю только для вырожденной фигуры.
2. Равенство: если два многоугольника равны (конгруэнтны), то их площади равны.
3. Аддитивность: если многоугольник разбит на несколько многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей частей.
4. Нормировка: площадь квадрата со стороной 1 равна 1 (единица площади).

Именно из аддитивности вытекает главный приём вычисления площади сложных фигур: разбить на более простые части (треугольники, прямоугольники) и сложить результаты.

Единицы площади: мм², см², дм², м², км². Перевод: $1{\text{м}}^2=100{\text{дм}}^2=10000{\text{см}}^2$.

Прямоугольник — фигура, у которой все углы прямые. Его площадь равна произведению двух смежных сторон (длины и ширины):

$S=a\cdot b$

где $a$ и $b$ — длина и ширина.

Почему именно так? Разобьём прямоугольник $a\times b$ на единичные квадраты: по горизонтали их $a$, по вертикали — $b$, итого $a\cdot b$ квадратов площадью 1 каждый. Это и есть обоснование формулы через аддитивность.

Квадрат — частный случай прямоугольника ($a=b$):

$S=a^2$

Пример: прямоугольник со сторонами $6$ см и $4$ см имеет площадь $S=6\cdot 4=24{\text{см}}^2$.

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны.

Высота параллелограмма $h$ — перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны (или её продолжения) на противоположную сторону (основание $a$).

$S=a\cdot h$

Откуда формула? Отрежем от параллелограмма прямоугольный треугольник у одного края и приставим к другому — получится прямоугольник с теми же основанием $a$ и высотой $h$. Площадь не изменилась (аддитивность), поэтому $S_{\text{параллелограмма}}=S_{\text{прямоугольника}}=a\cdot h$.

Треугольник — простейший многоугольник; любой многоугольник можно разбить на треугольники.

Основная формула: $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота, опущенная на это основание.

Откуда берётся $\frac{1}{2}$? Любой треугольник — ровно половина параллелограмма, построенного на тех же основании и высоте. Значит, $S_{△}=\frac{1}{2}{S}_{\text{параллелограмма}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$.

Формула Герона (когда известны все три стороны $a$, $b$, $c$):

$p=\frac{a+b+c}{2}$ (полупериметр),

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Частный случай — прямоугольный треугольник: катеты $a$ и $b$ являются основанием и высотой, поэтому $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$.

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон (основания $a$ и $b$), а $h$ — расстояние между ними (высота).

$S=\frac{(a+b)}{2}\cdot h$

Логика: трапецию разбиваем диагональю на два треугольника с общей высотой $h$ и основаниями $a$ и $b$:

$S=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}bh=\frac{(a+b)}{2}\cdot h$

Произвольный многоугольник вычисляется через разбиение на треугольники: из любой вершины проводим диагонали ко всем несмежным вершинам, получаем треугольники, находим площадь каждого и суммируем.

Принцип: $n$-угольник делится на $(n-2)$ треугольника, поэтому:

$S_{\text{многоугольника}}=S_1+S_2+\dots +S_{n-2}$