Трапеция: задания и примеры с ответами, 8 класс

0 из 10

Трапеция. Равнобедренная трапеция

…

Примеры заданий с ответами

1Один из углов равнобедренной трапеции равен

126°

. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают $180°$ .
Углы трапеции: два по $126°$ и два по $180° - 126° = 54°$ . Меньший угол $54°$ .

Ответ: 54

2В равнобедренной трапеции с основаниями

A D

B C

угол

D

равен

83°

. Диагональ

A C

образует со стороной

A B

угол

39°

. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Трапеция равнобедренная, поэтому $∠ A = ∠ D = 83°$ .
$∠ C A D = ∠ A - ∠ B A C = 83° - 39° = 44°$ .
$B C ∥ A D$ , поэтому $∠ A C B = ∠ C A D = 44°$ как накрест лежащие при секущей $A C$ .

Ответ: 44

3В равнобедренной трапеции

A B C D

высота

B H

равна

4

, большее основание

A D

равно

19

, а угол при основании равен

45°

. Найдите меньшее основание.

Треугольник $A B H$ прямоугольный с углом $45°$ , значит, равнобедренный: $A H = B H = 4$ . У другой боковой стороны отсекается такой же отрезок.
$B C = A D - 2 \cdot A H = 19 - 2 \cdot 4 = 11$ .

Ответ: 11

4В равнобедренной трапеции

A B C D

(

B C ∥ A D

) угол при большем основании равен

60°

, а диагональ

A C

является биссектрисой угла

A

. Большее основание равно

12

. Найди периметр трапеции.

$∠ C A D = ∠ B C A$ как накрест лежащие при $B C ∥ A D$ , а $∠ C A D = ∠ B A C$ по условию. Значит, $∠ B A C = ∠ B C A$ и $A B = B C$ .
Высоты из $B$ и $C$ отсекают по краям отрезки против угла $30°$ , равные $\frac{1}{2} A B$ , поэтому $A D = B C + A B = 2 \cdot A B$ .
$A B = B C = C D = 12 : 2 = 6$ , $P = 6 \cdot 3 + 12 = 30$ .

Ответ: 30

5Основания равнобокой трапеции относятся как

2 : 5

, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите боковую сторону трапеции, если её периметр равен

17

Пусть $A B C D$ трапеция, $B C : A D = 2 : 5$ , диагональ $B D$ делит тупой угол $B$ пополам. $∠ C B D = ∠ A D B$ как накрест лежащие, поэтому $∠ A B D = ∠ A D B$ и треугольник $A B D$ равнобедренный: $A B = A D$ .
Значит, $A B = C D = A D$ . Пусть $B C = 2 x$ , $A D = 5 x$ , тогда $P = 2 x + 5 x + 2 \cdot 5 x = 17 x = 17$ , $x = 1$ .
Боковая сторона: $A B = A D = 5 \cdot 1 = 5$ .

Ответ: 5

6Диагональ прямоугольной трапеции разбивает её на два треугольника, один из которых является равносторонним со стороной

9

. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть $A B C D$ трапеция, $∠ A = ∠ B = 90°$ , $B C ∥ A D$ , и диагональ $A C$ отсекает равносторонний треугольник $A C D$ (треугольник $A B C$ прямоугольный и равносторонним быть не может). Тогда $A C = C D = A D = 9$ , $∠ C A D = 60°$ .
$∠ B A C = 90° - 60° = 30°$ . В прямоугольном треугольнике $A B C$ катет $B C$ лежит против угла $30°$ : $B C = \frac{A C}{2} = 4, 5$ .
Средняя линия: $\frac{9 + 4 , 5}{2} = 6, 75$ .

Ответ: 6,75