Средняя линия треугольника: задания с ответами, 8 класс

0 из 10

Средняя линия треугольника

…

Примеры заданий с ответами

1Точки

P

Q

являются серединами сторон

A B

A C

треугольника

A B C

B C = 43

. Найдите

P Q

$P Q$ соединяет середины сторон $A B$ и $A C$ , значит, $P Q$ является средней линией треугольника $A B C$ и параллельна стороне $B C$ .
Средняя линия равна половине этой стороны: $P Q = B C : 2 = 43 : 2 = 21, 5$ .

Ответ: 21,5

2Стороны треугольника относятся как

3 : 5 : 7

, его периметр равен

180

. Найдите наибольшую из средних линий этого треугольника.

Пусть стороны равны $3 x$ , $5 x$ , $7 x$ : $15 x = 180$ , $x = 180 : 15 = 12$ .
Наибольшая сторона: $7 \cdot 12 = 84$ .
Наибольшая средняя линия параллельна этой стороне и равна её половине: $84 : 2 = 42$ .

Ответ: 42

3Точки

D

E

F

являются серединами сторон

A B

B C

C A

треугольника

A B C

D E = 7

E F = 18

F D = 19

. Найдите сторону

A C

Отрезки $D E$ , $E F$ , $F D$ являются средними линиями: $D E ∥ A C$ , $E F ∥ A B$ , $F D ∥ B C$ .
Средняя линия равна половине параллельной ей стороны, поэтому сторона вдвое больше средней линии.
$A C = 2 \cdot D E = 2 \cdot 7 = 14$ .

Ответ: 14

4Точки

M

N

K

T

являются серединами сторон

A B

B C

C D

D A

равнобедренной трапеции

A B C D

с основаниями

A D

B C

, диагональ трапеции равна

32

. Найдите сторону четырёхугольника

M N K T

Стороны четырёхугольника $M N K T$ являются средними линиями треугольников, на которые диагонали делят фигуру: каждая сторона параллельна одной из диагоналей и равна её половине.
Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому все четыре стороны $M N K T$ равны: $M N K T$ является ромбом со стороной $32 : 2 = 16$ .

Ответ: 16

5Углы

B A D

B C E

являются внешними углами треугольника

A B C

. Из вершины

B

проведены перпендикуляры

B M

B K

к биссектрисам углов

B A D

B C E

. Найдите отрезок

M K

, если периметр треугольника

A B C

равен

12

Продлим $B M$ до пересечения с прямой $A C$ в точке $X$ . В треугольнике $A B X$ биссектриса угла $A$ является высотой, значит, треугольник $A B X$ равнобедренный: $A X = A B$ , и $M$ является серединой $B X$ .
Так же продлим $B K$ до точки $Y$ на прямой $A C$ : $C Y = C B$ , и $K$ является серединой $B Y$ .
$M K$ является средней линией треугольника $X B Y$ : $M K = X Y : 2$ .
$X Y = X A + A C + C Y = A B + A C + B C = 12$ , поэтому $M K = 12 : 2 = 6$ .

Ответ: 6

6В трапеции

A B C D

с основаниями

A D

B C

сумма углов при основании

A D

равна

90°

. Точки

K

L

являются серединами оснований

B C

A D

. Найдите

A D

, если

K L = 8, 5

B C = 7

Пусть $M$ и $N$ середины диагоналей $A C$ и $B D$ . $K M$ является средней линией треугольника $A B C$ , $N L$ является средней линией треугольника $A B D$ : обе параллельны $A B$ и равны $A B : 2$ . Значит, $K M L N$ является параллелограммом.
$K N$ является средней линией треугольника $B C D$ , $K N ∥ C D$ . Прямые $A B$ и $C D$ вместе с $A D$ образуют треугольник с углами при $A D$ , дающими в сумме $90°$ , значит, $A B ⊥ C D$ , и $K M ⊥ K N$ .
Параллелограмм $K M L N$ с прямым углом является прямоугольником, его диагонали равны: $K L = M N$ .
Пусть $T$ середина $A B$ : $T M = B C : 2$ , $T N = A D : 2$ , оба отрезка параллельны основаниям, поэтому $T$ , $M$ , $N$ на одной прямой и $M N = (A D - B C) : 2$ .
$A D - B C = 2 \cdot K L = 17$ , $A D = 7 + 17 = 24$ .

Ответ: 24