Задание 16 · часть 1 · 1 балл · сложный

Известны диагональ ромба и tg BCA, найдите радиус вписанной окружности: задание 16 ОГЭ по математике

Диагонали ромба пересекаются в точке O под прямым углом и делятся пополам. Половина данной диагонали это OC, вторую половину найди как $O B = O C \cdot t g ∠ B C A$ . Радиус вписанной окружности равен высоте прямоугольного треугольника BOC, проведённой к стороне BC: $r = \frac{O B \cdot O C}{B C}$ . При $A C = 8$ и $t g ∠ B C A = \frac{3}{4}$ : $O C = 4$ , $O B = 3$ , $B C = 5$ , $r = 2,4$ .

Все типы задания 16

Проверь себя · 1 из 3

Диагональ

A C

ромба

A B C D

равна

96

, а

tg ∠ B C A = \frac{7}{24}

. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Как решать задание 16 ОГЭ: радиус вписанной в ромб окружности по тангенсу

Раздели данную диагональ пополам: это OC.
Найди OB через тангенс.
Найди сторону BC по теореме Пифагора.
Вычисли $r = \frac{O B \cdot O C}{B C}$ .

Где ошибаются. Принимают за радиус половину диагонали, OB или OC. Окружность касается сторон ромба, поэтому радиус это расстояние от O до стороны, и он короче обеих полудиагоналей.

Как проверить ответ. Проверь площадью треугольника BOC двумя способами: $\frac{O B \cdot O C}{2} = \frac{B C \cdot r}{2}$ . При $O B = 3$ , $O C = 4$ , $B C = 5$ : $3 \cdot 4 = 12 = 5 \cdot 2,4$ .

Правило

\frac{a}{\sin α} = 2 R

;

S = p r

, где

p

полупериметр

Что писать в бланк. Ответ записывают в бланк одним числом: целым или конечной десятичной дробью, через запятую, без единиц измерения.

Приём из разбора задания 16: Теорема синусов, площадь через радиус, окружность в ромбе и прямоугольнике.

Прототипы банка ФИПИ: 25984A

Примеры с решением

Пример 1

Диагональ

A C

ромба

A B C D

равна

32

, а

tg ∠ B C A = \frac{3}{4}

. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ и решение

Ответ: 9,6

1Пусть $O$ точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: $O C = 16$ , $O B = O C \cdot tg ∠ B C A = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12$ .
2 $B C = 1 6^{2} + 1 2^{2} = 20$ . Радиус вписанной окружности равен высоте треугольника $B O C$ к гипотенузе: $r = \frac{O B \cdot O C}{B C} = \frac{12 \cdot 16}{20} = 9, 6$ .

Пример 2

Диагональ

A C

ромба

A B C D

равна

48

, а

tg ∠ B C A = \frac{7}{24}

. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ и решение

Ответ: 6,72

1Пусть $O$ точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: $O C = 24$ , $O B = O C \cdot tg ∠ B C A = 24 \cdot \frac{7}{24} = 7$ .
2 $B C = 2 4^{2} + 7^{2} = 25$ . Радиус вписанной окружности равен высоте треугольника $B O C$ к гипотенузе: $r = \frac{O B \cdot O C}{B C} = \frac{7 \cdot 24}{25} = 6, 72$ .

Пример 3

Диагональ

A C

ромба

A B C D

равна

28

, а

tg ∠ B C A = \frac{24}{7}

. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ и решение

Ответ: 13,44

1Пусть $O$ точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: $O C = 14$ , $O B = O C \cdot tg ∠ B C A = 14 \cdot \frac{24}{7} = 48$ .
2 $B C = 1 4^{2} + 4 8^{2} = 50$ . Радиус вписанной окружности равен высоте треугольника $B O C$ к гипотенузе: $r = \frac{O B \cdot O C}{B C} = \frac{48 \cdot 14}{50} = 13, 44$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 16

Все 22 типов задания 16 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)