Задание 16 · часть 1 · 1 балл · сложный

Центр окружности в середине стороны квадрата, найдите площадь квадрата: задание 16 ОГЭ по математике

Соедини центр O с вершиной A: отрезок AO равен радиусу. Треугольник ADO прямоугольный с катетами $a$ и $\frac{a}{2}$ , поэтому $R^{2} = \frac{5 a^{2}}{4}$ . Площадь квадрата равна $a^{2}$ , значит, $S = \frac{4 R^{2}}{5}$ , и сторону искать не нужно. При $R = 6 \sqrt{5}$ получаем $R^{2} = 180$ и $S = 144$ . При $R = 4$ : $R^{2} = 16$ , $S = \frac{4 \cdot 16}{5} = 12,8$ .

Все типы задания 16

Проверь себя · 1 из 3

Точка

O

является серединой стороны

C D

квадрата

A B C D

. Радиус окружности с центром в точке

O

, проходящей через вершину

A

, равен

30

. Найдите площадь квадрата

A B C D

Как решать задание 16 ОГЭ: окружность с центром в середине стороны квадрата

Проведи радиус OA и выдели прямоугольный треугольник ADO.
Запиши теорему Пифагора: $R^{2} = a^{2} + \frac{a^{2}}{4}$ .
Вырази площадь: $S = a^{2} = \frac{4 R^{2}}{5}$ .
Подставь $R^{2}$ и посчитай.

Где ошибаются. Считают радиус равным стороне квадрата, раз окружность проходит через вершину, и пишут $S = R^{2}$ . Отрезок OA наклонный и длиннее стороны: $R^{2} = \frac{5}{4} a^{2}$ .

Как проверить ответ. Проверь подстановкой: при $S = 144$ сторона 12, $D O = 6$ , тогда $O A^{2} = 12^{2} + 6^{2} = 180 = (6 \sqrt{5})^{2}$ . Совпало с радиусом из условия.

Правило

Квадрат:

r = \frac{a}{2}

R = \frac{a \sqrt{2}}{2}

; равносторонний треугольник:

r = \frac{a \sqrt{3}}{6}

R = \frac{a \sqrt{3}}{3}

Что писать в бланк. Ответ записывают в бланк одним числом: целым или конечной десятичной дробью, через запятую, без единиц измерения.

Приём из разбора задания 16: Радиус вписанной и описанной окружности квадрата и равностороннего треугольника.

Прототипы банка ФИПИ: 85B940, 0735B5, 6D9F94

Примеры с решением

Пример 1

Точка

O

является серединой стороны

C D

квадрата

A B C D

. Радиус окружности с центром в точке

O

, проходящей через вершину

A

, равен

5

. Найдите площадь квадрата

A B C D

Ответ и решение

Ответ: 20

1Пусть сторона квадрата $a$ . В прямоугольном треугольнике $A D O$ : $A D = a$ , $D O = \frac{a}{2}$ , $A O = R$ .
2 $R^{2} = a^{2} + \frac{a ^{2}}{4} = \frac{5 a ^{2}}{4}$ , откуда $S = a^{2} = \frac{4 R ^{2}}{5}$ .
3 $R^{2} = 25$ , $S = \frac{4 \cdot 25}{5} = 20$ .

Пример 2

Точка

O

является серединой стороны

C D

квадрата

A B C D

. Радиус окружности с центром в точке

O

, проходящей через вершину

A

, равен

6 \sqrt{5}

. Найдите площадь квадрата

A B C D

Ответ и решение

Ответ: 144

1Пусть сторона квадрата $a$ . В прямоугольном треугольнике $A D O$ : $A D = a$ , $D O = \frac{a}{2}$ , $A O = R$ .
2 $R^{2} = a^{2} + \frac{a ^{2}}{4} = \frac{5 a ^{2}}{4}$ , откуда $S = a^{2} = \frac{4 R ^{2}}{5}$ .
3 $R^{2} = 180$ , $S = \frac{4 \cdot 180}{5} = 144$ .

Пример 3

Точка

O

является серединой стороны

C D

квадрата

A B C D

. Радиус окружности с центром в точке

O

, проходящей через вершину

A

, равен

5 \sqrt{5}

. Найдите площадь квадрата

A B C D

Ответ и решение

Ответ: 100

1Пусть сторона квадрата $a$ . В прямоугольном треугольнике $A D O$ : $A D = a$ , $D O = \frac{a}{2}$ , $A O = R$ .
2 $R^{2} = a^{2} + \frac{a ^{2}}{4} = \frac{5 a ^{2}}{4}$ , откуда $S = a^{2} = \frac{4 R ^{2}}{5}$ .
3 $R^{2} = 125$ , $S = \frac{4 \cdot 125}{5} = 100$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 16

Все 22 типов задания 16 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)