Задание 16 · часть 1 · 1 балл · норма

Известен радиус вписанной окружности равностороннего треугольника: задание 16 ОГЭ по математике

Центр вписанной окружности лежит на пересечении медиан и делит каждую в отношении 2 : 1 от вершины, поэтому $r$ составляет треть высоты: $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ . Отсюда $a = 2 \sqrt{3} r$ . Иногда радиус спрятан в формулировке «расстояние от точки O до сторон треугольника». При $r = 9 \sqrt{3}$ сторона равна $2 \sqrt{3} \cdot 9 \sqrt{3} = 54$ .

Все типы задания 16

Проверь себя · 1 из 3

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен

93

. Найдите длину стороны этого треугольника.

Как решать задание 16 ОГЭ: сторона треугольника по радиусу вписанной окружности

Узнай радиус вписанной окружности, в том числе в виде расстояния от центра до сторон.
Запиши $a = 2 \sqrt{3} r$ , а если дана сторона, $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .
Перемножь, учитывая $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ .

Где ошибаются. Берут радиус за две трети высоты, как у описанной окружности, и получают сторону вдвое меньше: при $r = 9 \sqrt{3}$ выходит 27 вместо 54. Расстояние от центра до стороны: треть высоты.

Как проверить ответ. Найди высоту по стороне и сравни с $3 r$ : при $a = 54$ высота $\frac{54 \sqrt{3}}{2} = 27 \sqrt{3}$ , и $3 \cdot 9 \sqrt{3} = 27 \sqrt{3}$ . Совпало, значит, ответ верный.

Правило

Квадрат:

r = \frac{a}{2}

R = \frac{a \sqrt{2}}{2}

; равносторонний треугольник:

r = \frac{a \sqrt{3}}{6}

R = \frac{a \sqrt{3}}{3}

Что писать в бланк. Ответ записывают в бланк одним числом: целым или конечной десятичной дробью, через запятую, без единиц измерения.

Приём из разбора задания 16: Радиус вписанной и описанной окружности квадрата и равностороннего треугольника.

Прототипы банка ФИПИ: 41D84A, 256E4F, 7EA942

Примеры с решением

Пример 1

В окружность с центром в точке

O

вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки

O

до сторон треугольника равно

9 \sqrt{3}

. Найдите сторону треугольника.

Ответ и решение

Ответ: 54

1Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают, поэтому расстояние от $O$ до сторон равно радиусу вписанной окружности $r$ .
2Центр вписанной окружности равностороннего треугольника лежит в точке пересечения медиан, они же высоты. Медианы делятся в отношении $2 : 1$ , поэтому $r = \frac{h}{3} = \frac{a 3}{6}$ .
3 $a = \frac{6 r}{3} = \frac{6 \cdot 9 3}{3} = 54$ .

Пример 2

В окружность с центром в точке

O

вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки

O

до сторон треугольника равно

3 \sqrt{3}

. Найдите сторону треугольника.

Ответ и решение

Ответ: 18

1Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают, поэтому расстояние от $O$ до сторон равно радиусу вписанной окружности $r$ .
2Центр вписанной окружности равностороннего треугольника лежит в точке пересечения медиан, они же высоты. Медианы делятся в отношении $2 : 1$ , поэтому $r = \frac{h}{3} = \frac{a 3}{6}$ .
3 $a = \frac{6 r}{3} = \frac{6 \cdot 3 3}{3} = 18$ .

Пример 3

Сторона равностороннего треугольника равна

11 \sqrt{3}

. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ и решение

Ответ: 5,5

1Центр вписанной окружности равностороннего треугольника лежит в точке пересечения медиан, они же высоты. Медианы делятся в отношении $2 : 1$ , поэтому $r = \frac{h}{3} = \frac{a 3}{6}$ .
2 $r = \frac{11 3 \cdot 3}{6} = \frac{33}{6} = 5, 5$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 16

Все 22 типов задания 16 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)