Задание 16 ОГЭ по математике: окружность

Ответ: 79

1. 1Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180°$: $\angle C=180°-101°=79°$.

Ответ: 56

1. 1Окружность касается обоих оснований, а они параллельны. Расстояние между основаниями, то есть высота, равно диаметру.
2. 2$h=2\cdot 28=56$.

Ответ: 66

1. 1Точки $O$ и $C$ лежат по одну сторону от $AB$, поэтому вписанный угол $ACB$ и центральный угол $AOB$ опираются на одну дугу $AB$.
2. 2Вписанный угол равен половине центрального: $\angle ACB=132°:2=66°$.

Ответ: 121

1. 1Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, значит, сумма её противоположных углов $A$ и $C$ равна $180°$.
2. 2$\angle C=180°-59°=121°$.
3. 3Ответ: $121$

Ответ: 100

1. 1Сторона квадрата равна диаметру окружности: $2\cdot 5=10$.
2. 2$S=10^2=100$.

Ответ: 11

1. 1Центр описанной окружности квадрата лежит в точке пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали, а диагональ $d=a\sqrt{2}$.
2. 2 $d=11\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=22$, $R=22:2=11$.

Ответ: 54

1. 1Центр вписанной окружности равностороннего треугольника лежит в точке пересечения медиан, они же высоты. Медианы делятся в отношении $2:1$, поэтому $r=\frac{h}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
2. 2 $a=\frac{6r}{\sqrt{3}}=\frac{6\cdot 9\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=54$.

Ответ: 66

1. 1Центр описанной окружности равностороннего треугольника лежит в точке пересечения медиан. Медианы делятся в отношении $2:1$, поэтому $R=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
2. 2 $a=\frac{3R}{\sqrt{3}}=\frac{3\cdot 22\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=66$.

Ответ: 46

1. 1Вписанные углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC=\angle CAD=57°$.
2. 2 $\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=103°-57°=46°$.

Ответ: 21

1. 1Центр лежит на $AB$, значит, $AB$ диаметр: $AB=2\cdot 14,5=29$, а угол $C$, опирающийся на диаметр, прямой.
2. 2По теореме Пифагора $AC=\sqrt{29^2-20^2}=21$.

Ответ: 5

1. 1Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, поэтому $R=AB:2$.
2. 2По теореме Пифагора $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$, $R=10:2=5$.

Ответ: 35,5

1. 1Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $S=pr$.
2. 2$p=71:2=35,5$, $S=35,5\cdot 1=35,5$. Длина стороны для ответа не нужна.

Ответ: 15

1. 1В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB+CD=BC+AD$.
2. 2$AD=17+15-17=15$.

Ответ: 36

1. 1Треугольник $BOC$ равнобедренный, $OB=OC$ как радиусы, поэтому $\angle OBC=\angle OCB=72°$ и $\angle BOC=180°-2\cdot 72°=36°$.
2. 2$\angle AOD=\angle BOC=36°$ как вертикальные.

Ответ: 68

1. 1Вписанный угол $ANB$ опирается на диаметр, поэтому он прямой, и $\angle NAB=90°-22°=68°$.
2. 2Вписанные углы $NMB$ и $NAB$ опираются на одну дугу $NB$, поэтому $\angle NMB=\angle NAB=68°$.

Ответ: 33,5

1. 1Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным. Если касательные пересекаются в точке $P$, то в четырёхугольнике $AOBP$: $\angle AOB=360°-90°-90°-67°=113°$.
2. 2Треугольник $AOB$ равнобедренный: $\angle ABO=(180°-113°):2=33,5°$.

Ответ: 71

1. 1Вписанные углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $DC$, поэтому $\angle DBC=\angle CAD=27°$.
2. 2 $\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=44°+27°=71°$.
3. 3Ответ: $71$

Ответ: 20

1. 1Центр лежит на $AB$, значит, $AB$ диаметр: $AB=2\cdot 26=52$, а угол $C$, опирающийся на диаметр, прямой.
2. 2По теореме Пифагора $BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{2704-2304}=20$.
3. 3Ответ: $20$

Ответ: 144

1. 1Пусть сторона квадрата $a$. В прямоугольном треугольнике $ADO$: $AD=a$, $DO=\frac{a}{2}$, $AO=R$.
2. 2 $R^2=a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}$, откуда $S=a^2=\frac{4R^2}{5}$.
3. 3$R^2=180$, $S=\frac{4\cdot 180}{5}=144$.

Ответ: 16

1. 1По теореме синусов $\frac{AB}{\sin C}=2R$, откуда $R=\frac{AB}{2\sin C}$.
2. 2$\sin 135°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $R=\frac{16\sqrt{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=16$.

Ответ: 672

1. 1Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности: $AC=50$.
2. 2Сторона, противолежащая этому углу в прямоугольном треугольнике $ABC$: $BC=AC\cdot \sin \angle CAB=50\cdot 0,28=14$.
3. 3Вторая сторона по теореме Пифагора: $AB=\sqrt{50^2-14^2}=48$. $S=14\cdot 48=672$.

Ответ: 13,44

1. 1Пусть $O$ точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: $OC=14$, $OB=OC\cdot \mathrm{tg}\angle BCA=14\cdot \frac{24}{7}=48$.
2. 2$BC=\sqrt{14^2+48^2}=50$. Радиус вписанной окружности равен высоте треугольника $BOC$ к гипотенузе: $r=\frac{OB\cdot OC}{BC}=\frac{48\cdot 14}{50}=13,44$.