Задание 23 · часть 2 · 2 балла · про

Найдите боковую сторону трапеции по углам ABC, BCD и стороне CD: задание 23 ОГЭ по математике

Опусти высоты из A и D на прямую BC: они равны, ведь основания параллельны. Если угол BCD тупой, в прямоугольном треугольнике у вершины C работает смежный угол $180^{\circ} - ∠ B C D$ . Найди высоту через CD и синус этого угла, затем раздели её на синус угла ABC. Ответ часто содержит корень, например $16 \sqrt{6}$ : записывай его точно.

Все типы задания 23

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 23 ОГЭ: боковая сторона трапеции по двум углам

Проведи высоты из вершин A и D к прямой BC и объясни, почему они равны.
Найди острый угол прямоугольного треугольника при вершине C.
Вырази высоту через CD и синус этого угла.
Найди AB как высоту, делённую на синус угла B.

Где ошибаются. Берут косинус вместо синуса. В прямоугольном треугольнике у вершины B высота лежит против угла B, поэтому $A B = \frac{h}{\sin B}$ , а не $\frac{h}{\cos B}$ .

Как проверить ответ. Сравни AB с высотой: гипотенуза длиннее катета. При CD = 12, углах 30° и 120° высота $6 \sqrt{3} \approx 10,4$ , а $A B = 12 \sqrt{3} \approx 20,8$ .

Правило

Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник; в трапеции

∠ A + ∠ B = 180^{\circ}

при боковой стороне AB.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 23: Ромб, параллелограмм и трапеция: биссектрисы, высоты, углы.

Прототипы банка ФИПИ: 92214F, 683F49, 1C1CFA, D4D0BC

Примеры с решением

Пример 1

Найдите боковую сторону

A B

трапеции

A B C D

, если углы

A B C

B C D

равны соответственно

30 °

120 °

, а

C D = 12

Ответ и решение

Ответ: 12√3

1Проведём высоты $A H$ и $D K$ трапеции к прямой $B C$ . Так как $A D ∥ B C$ , расстояния от точек $A$ и $D$ до прямой $B C$ равны: $A H = D K$ .
2Угол $B C D$ тупой, поэтому точка $K$ лежит на продолжении $B C$ за точку $C$ и $∠ D C K = 180° - 120° = 60°$ (углы $B C D$ и $D C K$ смежные).
3Из прямоугольного треугольника $D K C$ : $D K = C D \cdot sin ∠ D C K = 12 \cdot sin 60° = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63$ .
4Угол $A B C$ острый, поэтому точка $H$ лежит на луче $B C$ и из прямоугольного треугольника $A H B$ : $A H = A B \cdot sin 30°$ , откуда $A B = \frac{A H}{sin 30°} = \frac{D K}{sin 30°}$ .
5 $A B = \frac{12 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 123$ .
6Ответ: 12√3

Пример 2

Найдите боковую сторону

A B

трапеции

A B C D

, если углы

A B C

B C D

равны соответственно

30 °

120 °

, а

C D = 45

Ответ и решение

Ответ: 45√3

1Проведём высоты $A H$ и $D K$ трапеции к прямой $B C$ . Так как $A D ∥ B C$ , расстояния от точек $A$ и $D$ до прямой $B C$ равны: $A H = D K$ .
2Угол $B C D$ тупой, поэтому точка $K$ лежит на продолжении $B C$ за точку $C$ и $∠ D C K = 180° - 120° = 60°$ (углы $B C D$ и $D C K$ смежные).
3Из прямоугольного треугольника $D K C$ : $D K = C D \cdot sin ∠ D C K = 45 \cdot sin 60° = 45 \cdot \frac{3}{2} = \frac{45 3}{2}$ .
4Угол $A B C$ острый, поэтому точка $H$ лежит на луче $B C$ и из прямоугольного треугольника $A H B$ : $A H = A B \cdot sin 30°$ , откуда $A B = \frac{A H}{sin 30°} = \frac{D K}{sin 30°}$ .
5 $A B = \frac{45 \cdot \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 453$ .
6Ответ: 45√3

Пример 3

Найдите боковую сторону

A B

трапеции

A B C D

, если углы

A B C

B C D

равны соответственно

60 °

150 °

, а

C D = 30

Ответ и решение

Ответ: 10√3

1Проведём высоты $A H$ и $D K$ трапеции к прямой $B C$ . Так как $A D ∥ B C$ , расстояния от точек $A$ и $D$ до прямой $B C$ равны: $A H = D K$ .
2Угол $B C D$ тупой, поэтому точка $K$ лежит на продолжении $B C$ за точку $C$ и $∠ D C K = 180° - 150° = 30°$ (углы $B C D$ и $D C K$ смежные).
3Из прямоугольного треугольника $D K C$ : $D K = C D \cdot sin ∠ D C K = 30 \cdot sin 30° = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15$ .
4Угол $A B C$ острый, поэтому точка $H$ лежит на луче $B C$ и из прямоугольного треугольника $A H B$ : $A H = A B \cdot sin 60°$ , откуда $A B = \frac{A H}{sin 60°} = \frac{D K}{sin 60°}$ .
5 $A B = \frac{30 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = 103$ .
6Ответ: 10√3

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 23

Углы ромба по расстоянию до сторонысложный
Катет через проекцию на гипотенузусложный
Прямая, параллельная стороне треугольникасложный
Сторона по двум углам и радиусусложный
Окружность с диаметром на высотесложный
Окружность через две вершины треугольникапро
Окружность с центром на стороне треугольникапро

Все 16 типов задания 23 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)