Задание 23 · часть 2 · 2 балла · про

Окружность проходит через B и C и пересекает AB и AC, найдите KP: задание 23 ОГЭ по математике

Четырёхугольник BKPC вписанный, поэтому $∠ B K P + ∠ B C P = 180^{\circ}$ и $∠ A K P = ∠ A C B$ . Треугольники AKP и ACB подобны, но вершины соответствуют крест накрест: K к C, P к B. Отсюда $\frac{K P}{B C} = \frac{A P}{A B} = \frac{A K}{A C}$ . Отношение сторон из условия подставляй в ту пропорцию, где оно стоит.

Все типы задания 23

Проверь себя · 1 из 3

Окружность пересекает стороны

A B

A C

треугольника

A B C

в точках

K

P

соответственно и проходит через вершины

B

C

. Найдите длину отрезка

K P

, если

A P = 48

, а сторона

B C

2

раза меньше стороны

A B

Как решать задание 23 ОГЭ: окружность через две вершины треугольника

Запиши свойство вписанного четырёхугольника BKPC.
Выведи равенство углов AKP и ACB.
Докажи подобие треугольников AKP и ACB и сопоставь вершины.
Составь пропорцию и найди KP.

Где ошибаются. Умножают на отношение вместо деления. Если AC в 1,5 раза больше BC, то $\frac{B C}{A C} = \frac{2}{3}$ , и при AK = 39 выходит KP = 26, а не 58,5.

Как проверить ответ. KP короче AK во столько же раз, во сколько BC короче AC: $39 : 26 = 1,5$ . Проверь, что отношения взяты из одной пропорции подобия.

Правило

R^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + d^{2}

, где a хорда, d расстояние до центра;

\frac{a}{\sin A} = 2 R

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 23: Окружность: хорды, касательная, описанная окружность.

Прототипы банка ФИПИ: 27E2F1, 23F177, DDE606, A39656

Примеры с решением

Пример 1

Окружность пересекает стороны

A B

A C

треугольника

A B C

в точках

K

P

соответственно и проходит через вершины

B

C

. Найдите длину отрезка

K P

, если

A P = 120

, а сторона

B C

4

раза меньше стороны

A B

Ответ и решение

Ответ: 30

1Точки $B$ , $K$ , $P$ , $C$ лежат на одной окружности, поэтому четырёхугольник $B K P C$ вписанный и сумма его противоположных углов равна $180°$ : $∠ B K P + ∠ B C P = 180°$ .
2Углы $A K P$ и $B K P$ смежные: $∠ A K P = 180° - ∠ B K P = ∠ B C P = ∠ A C B$ .
3Угол $A$ у треугольников $A K P$ и $A C B$ общий, значит, они подобны по двум углам ( $K \leftrightarrow C$ , $P \leftrightarrow B$ ).
4Из подобия $\frac{K P}{C B} = \frac{A P}{A B}$ , откуда $K P = A P \cdot \frac{B C}{A B} = \frac{120}{4} = 30$ .
5Ответ: $30$

Пример 2

Окружность пересекает стороны

A B

A C

треугольника

A B C

в точках

K

P

соответственно и проходит через вершины

B

C

. Найдите длину отрезка

K P

, если

A K = 39

, а сторона

A C

1,5

раза больше стороны

B C

Ответ и решение

Ответ: 26

1Точки $B$ , $K$ , $P$ , $C$ лежат на одной окружности, поэтому четырёхугольник $B K P C$ вписанный и сумма его противоположных углов равна $180°$ : $∠ B K P + ∠ B C P = 180°$ .
2Углы $A K P$ и $B K P$ смежные: $∠ A K P = 180° - ∠ B K P = ∠ B C P = ∠ A C B$ .
3Угол $A$ у треугольников $A K P$ и $A C B$ общий, значит, они подобны по двум углам ( $K \leftrightarrow C$ , $P \leftrightarrow B$ ).
4Из подобия $\frac{K P}{C B} = \frac{A K}{A C}$ , откуда $K P = A K \cdot \frac{B C}{A C} = \frac{39}{1 , 5} = 26$ .
5Ответ: $26$

Пример 3

Окружность пересекает стороны

A B

A C

треугольника

A B C

в точках

K

P

соответственно и проходит через вершины

B

C

. Найдите длину отрезка

K P

, если

A P = 96

, а сторона

B C

4

раза меньше стороны

A B

Ответ и решение

Ответ: 24

1Точки $B$ , $K$ , $P$ , $C$ лежат на одной окружности, поэтому четырёхугольник $B K P C$ вписанный и сумма его противоположных углов равна $180°$ : $∠ B K P + ∠ B C P = 180°$ .
2Углы $A K P$ и $B K P$ смежные: $∠ A K P = 180° - ∠ B K P = ∠ B C P = ∠ A C B$ .
3Угол $A$ у треугольников $A K P$ и $A C B$ общий, значит, они подобны по двум углам ( $K \leftrightarrow C$ , $P \leftrightarrow B$ ).
4Из подобия $\frac{K P}{C B} = \frac{A P}{A B}$ , откуда $K P = A P \cdot \frac{B C}{A B} = \frac{96}{4} = 24$ .
5Ответ: $24$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 23

Длина хорды по расстояниям до центрасложный
Окружность с центром на стороне треугольникапро
Высота к гипотенузе по двум катетамсложный
Высота к гипотенузе по катету и гипотенузесложный
Высота ромба по отрезкам сторонысложный
Отрезок диагонали между параллельными прямымисложный
Биссектрисы углов при боковой стороне трапециисложный

Все 16 типов задания 23 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)