Задание 23 · часть 2 · 2 балла · про

Окружность с центром на AC касается прямой AB в точке B: задание 23 ОГЭ по математике

Радиус OB проведён в точку касания, поэтому OB ⊥ AB и треугольник ABO прямоугольный. OB = OC = r, а AO = AC − r. Теорема Пифагора даёт уравнение $A B^{2} + r^{2} = (A C - r)^{2}$ , где $r^{2}$ сокращается. Ответ часто дробный, например 3,75: проверь, просят радиус или диаметр. Пример: AB = 1, AC = 4, тогда $1 + r^{2} = (4 - r)^{2}$ , $8 r = 15$ , r = 1,875, диаметр 3,75.

Все типы задания 23

Проверь себя · 1 из 3

Окружность с центром на стороне

A C

треугольника

A B C

проходит через вершину

C

и касается прямой

A B

в точке

B

. Найдите

A C

, если диаметр окружности равен

10

, а

A B = 12

Как решать задание 23 ОГЭ: окружность с центром на стороне треугольника

Обоснуй, что OB перпендикулярен AB.
Вырази AO через AC и радиус.
Составь уравнение по теореме Пифагора и найди радиус.
Найди искомую величину: диаметр или AC.

Где ошибаются. При раскрытии $(4 - r)^{2}$ теряют удвоенное произведение и пишут $16 - r^{2}$ . Верно $16 - 8 r + r^{2}$ , тогда $r^{2}$ сокращается и уравнение линейное.

Как проверить ответ. Подставь радиус в Пифагора: $A O = 4 - 1,875 = 2,125$ , $1^{2} + {1,875}^{2} = 4,515625 = {2,125}^{2}$ . Равенство выполнено.

Правило

R^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + d^{2}

, где a хорда, d расстояние до центра;

\frac{a}{\sin A} = 2 R

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 23: Окружность: хорды, касательная, описанная окружность.

Прототипы банка ФИПИ: D5F808, F0C3BD, 6D4E75, 0A90C5

Примеры с решением

Пример 1

Окружность с центром на стороне

A C

треугольника

A B C

проходит через вершину

C

и касается прямой

A B

в точке

B

. Найдите диаметр окружности, если

A B = 6

A C = 8

Ответ и решение

Ответ: 3,5

1Пусть $O$ центр окружности, $r$ её радиус. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $O B ⊥ A B$ .
2 $O B = O C = r$ (радиусы), и так как точка $O$ лежит на отрезке $A C$ , то $A O = A C - O C = A C - r$ .
3Треугольник $A B O$ прямоугольный с прямым углом $B$ , по теореме Пифагора $A B^{2} + O B^{2} = A O^{2}$ : $6^{2} + r^{2} = (8 - r)^{2}$ .
4 $36 + r^{2} = 64 - 16 r + r^{2}$ , откуда $16 r = 28$ , $r = \frac{28}{16} = 1, 75$ .
5Диаметр $2 r = 3, 5$ .
6Ответ: $3, 5$

Пример 2

Окружность с центром на стороне

A C

треугольника

A B C

проходит через вершину

C

и касается прямой

A B

в точке

B

. Найдите диаметр окружности, если

A B = 4

A C = 10

Ответ и решение

Ответ: 8,4

1Пусть $O$ центр окружности, $r$ её радиус. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $O B ⊥ A B$ .
2 $O B = O C = r$ (радиусы), и так как точка $O$ лежит на отрезке $A C$ , то $A O = A C - O C = A C - r$ .
3Треугольник $A B O$ прямоугольный с прямым углом $B$ , по теореме Пифагора $A B^{2} + O B^{2} = A O^{2}$ : $4^{2} + r^{2} = (10 - r)^{2}$ .
4 $16 + r^{2} = 100 - 20 r + r^{2}$ , откуда $20 r = 84$ , $r = \frac{84}{20} = 4, 2$ .
5Диаметр $2 r = 8, 4$ .
6Ответ: $8, 4$

Пример 3

Окружность с центром на стороне

A C

треугольника

A B C

проходит через вершину

C

и касается прямой

A B

в точке

B

. Найдите

A C

, если диаметр окружности равен

12

, а

A B = 8

Ответ и решение

Ответ: 16

1Пусть $O$ центр окружности, $r$ её радиус. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $O B ⊥ A B$ .
2 $O B = O C = r$ (радиусы), и так как точка $O$ лежит на отрезке $A C$ , то $A O = A C - O C = A C - r$ .
3 $r = \frac{12}{2} = 6$ . Треугольник $A B O$ прямоугольный с прямым углом $B$ , по теореме Пифагора $A O = A B^{2} + O B^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100 = 10$ .
4 $A C = A O + O C = 10 + 6 = 16$ .
5Ответ: $16$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 23

Длина хорды по расстояниям до центрасложный
Высота к гипотенузе по двум катетамсложный
Высота к гипотенузе по катету и гипотенузесложный
Высота ромба по отрезкам сторонысложный
Отрезок диагонали между параллельными прямымисложный
Биссектрисы углов при боковой стороне трапециисложный
Отрезок, параллельный основаниям трапециипро

Все 16 типов задания 23 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)