Задание 23 · часть 2 · 2 балла · сложный

Высота из вершины прямого угла, найдите катет AB по AH и AC: задание 23 ОГЭ по математике

Треугольники ABH и ACB подобны: угол A общий, углы AHB и ABC прямые. Из подобия $\frac{A H}{A B} = \frac{A B}{A C}$ , значит, $A B^{2} = A H \cdot A C$ . Произведение в банке подобрано под точный квадрат: $8 \cdot 98 = 784 = 28^{2}$ . Не ограничивайся готовой формулой: докажи подобие, иначе получишь 1 балл. Следи, чтобы проекция относилась к нужному катету: AH прилежит к вершине A, значит, и считаешь AB.

Все типы задания 23

Проверь себя · 1 из 3

Точка

H

является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла

B

треугольника

A B C

к гипотенузе

A C

. Найдите

A B

, если

A H = 9

A C = 49

Как решать задание 23 ОГЭ: катет через проекцию на гипотенузу

Докажи подобие треугольников ABH и ACB по двум углам.
Составь пропорцию из соответственных сторон.
Вырази $A B^{2}$ через AH и AC.
Извлеки корень и запиши ответ.

Где ошибаются. Берут HC вместо AC: $A B^{2} = A H \cdot H C$ . Это формула для высоты $B H^{2}$ , а для катета нужна вся гипотенуза: $A B^{2} = A H \cdot A C$ .

Как проверить ответ. Катет лежит между проекцией и гипотенузой: $8 < 28 < 98$ . Отношения из подобия равны: $28 : 8 = 3,5$ и $98 : 28 = 3,5$ .

Правило

h = \frac{a b}{c}

A B^{2} = A H \cdot A C

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 23: Прямоугольный треугольник и высота к гипотенузе.

Прототипы банка ФИПИ: 9CB749, 6380F3, C3F608, D35E73

Примеры с решением

Пример 1

Точка

H

является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла

B

треугольника

A B C

к гипотенузе

A C

. Найдите

A B

, если

A H = 16

A C = 36

Ответ и решение

Ответ: 24

1Треугольники $A B H$ и $A C B$ подобны по двум углам: угол $A$ общий, $∠ A H B = 90°$ ( $B H$ высота) и $∠ A B C = 90°$ (по условию).
2Из подобия $\frac{A H}{A B} = \frac{A B}{A C}$ , откуда $A B^{2} = A H \cdot A C = 16 \cdot 36 = 576$ .
3 $A B = 576 = 24$ .
4Ответ: $24$

Пример 2

Точка

H

является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла

B

треугольника

A B C

к гипотенузе

A C

. Найдите

A B

, если

A H = 1

A C = 36

Ответ и решение

Ответ: 6

1Треугольники $A B H$ и $A C B$ подобны по двум углам: угол $A$ общий, $∠ A H B = 90°$ ( $B H$ высота) и $∠ A B C = 90°$ (по условию).
2Из подобия $\frac{A H}{A B} = \frac{A B}{A C}$ , откуда $A B^{2} = A H \cdot A C = 1 \cdot 36 = 36$ .
3 $A B = 36 = 6$ .
4Ответ: $6$

Пример 3

Точка

H

является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла

B

треугольника

A B C

к гипотенузе

A C

. Найдите

A B

, если

A H = 4

A C = 25

Ответ и решение

Ответ: 10

1Треугольники $A B H$ и $A C B$ подобны по двум углам: угол $A$ общий, $∠ A H B = 90°$ ( $B H$ высота) и $∠ A B C = 90°$ (по условию).
2Из подобия $\frac{A H}{A B} = \frac{A B}{A C}$ , откуда $A B^{2} = A H \cdot A C = 4 \cdot 25 = 100$ .
3 $A B = 100 = 10$ .
4Ответ: $10$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 23

Прямая, параллельная стороне треугольникасложный
Углы ромба по расстоянию до сторонысложный
Сторона по двум углам и радиусусложный
Окружность с диаметром на высотесложный
Длина хорды по расстояниям до центрасложный
Окружность через две вершины треугольникапро
Окружность с центром на стороне треугольникапро

Все 16 типов задания 23 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)