Критерии оценивания ОГЭ по математике: вторая часть

Ответ: -8; 5

1. 1Перенесём всё в левую часть: $x^4-(3x-40{)}^2=0.$
2. 2Разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=x^2$, $b=3x-40$: $(x^2-(3x-40))(x^2+3x-40)=0,$ $(x^2-3x+40)(x^2+3x-40)=0.$
3. 3Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
4. 41) $x^2-3x+40=0$: $D=3^2-4\cdot 40=-151<0$, корней нет.
5. 52) $x^2+3x-40=0$, $D=3^2+4\cdot 40=169=13^2$, $x_1=\frac{-3-13}{2}=-8$, $x_2=\frac{-3+13}{2}=5$.
6. 6Ответ: $-8;5$.

Ответ: 108

1. 1Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, тогда скорость второго равна $x-24$ км/ч.
2. 2Запишем условие в таблицу:

   	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
   Первый	$x$	$\frac{378}{x}$	$378$
   Второй	$x-24$	$\frac{378}{x-24}$	$378$

3. 3Второй автомобиль был в пути на 1 ч дольше первого, откуда $\frac{378}{x-24}-\frac{378}{x}=1.$
4. 4Умножим обе части на $x(x-24)$, где $x(x-24)\ne 0$, так как $x>24$: $378x-378(x-24)=1x(x-24),$ $x^2-24x-9072=0.$
5. 5Дискриминант: $D=(-24{)}^2-4\cdot 1\cdot (-9072)=36864=192^2$. Корни: $x_1=\frac{24+192}{2}=108,x_2=\frac{24-192}{2}=-84.$
6. 6Корень $-84$ не подходит по смыслу задачи: скорость не может быть отрицательной. Значит, скорость первого автомобиля равна $108$ км/ч.
7. 7Ответ: 108 км/ч.

Ответ: $[-10;-2]\cup \{-1\}$

1. 1Функция определена при всех $x$: каждая формула задана на своём промежутке. Строим график по частям.
2. 2При $x⩾-6$: $y=-x^2-6x-10=-(x+3{)}^2-1$. Это часть параболы, ветви направлены вниз, вершина $(-3;-1)$ (вершина входит в эту часть, так как $-3⩾-6$). Ещё точки: $(-2;-2)$, $(-1;-5)$. На левом конце $y(-6)=-10$, точка $(-6;-10)$ закрашена.
3. 3При $x<-6$: $y=-x-8$. Это луч прямой, строим по двум точкам: он проходит через точку $(-7;-1)$ и подходит к точке $(-6;-2)$, которая выколота (при $x=-6$ действует первая формула). При уменьшении $x$ значения растут неограниченно.
4. 4Прямая $y=m$ параллельна оси $Ox$ (при $m=0$ совпадает с ней). Число общих точек с графиком меняется только тогда, когда прямая проходит через особые точки графика или совпадает с асимптотой: $m=-10$ (закрашенный конец части $(-6;-10)$); $m=-2$ (выколотая точка $(-6;-2)$); $m=-1$ (вершина параболы $(-3;-1)$).
5. 5Двигаем прямую $y=m$ снизу вверх и по рисунку считаем общие точки: при $m<-10$ одна общая точка; при $-10⩽m⩽-2$ две общие точки; при $-2<m<-1$ три общие точки; при $m=-1$ две общие точки; при $m>-1$ одна общая точка.
6. 6Значит, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $-10⩽m⩽-2$ и при $m=-1$. На рисунке пунктиром показаны граничные прямые $y=-10$, $y=-2$, $y=-1$.
7. 7Ответ: $-10⩽m⩽-2$; $m=-1$, то есть $m\in [-10;-2]\cup \{-1\}$

Ответ: 5

1. 1Точка $H$ лежит на стороне $CD$, поэтому $CD=DH+CH=12+1=13$. Все стороны ромба равны, значит, $AD=CD=13$.
2. 2$AH$ высота ромба, то есть $AH\perp CD$, поэтому треугольник $AHD$ прямоугольный с прямым углом $H$ и гипотенузой $AD$.
3. 3По теореме Пифагора $AH=\sqrt{A{D}^2-D{H}^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$.
4. 4Ответ: $5$

1. 1Точка $O$ является серединой стороны $AD$, поэтому $AO=\frac{1}{2}AD$. По условию $AD=2AB$, значит, $AO=AB$.
2. 2Треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $OB$, поэтому углы при основании равны: $\angle AOB=\angle ABO$.
3. 3Прямые $AD$ и $BC$ параллельны как противоположные стороны параллелограмма, $BO$ секущая, поэтому $\angle AOB=\angle OBC$ как накрест лежащие углы.
4. 4Значит, $\angle ABO=\angle AOB=\angle OBC$: луч $BO$ делит угол $CBA$ на два равных угла, то есть $BO$ является биссектрисой угла $CBA$.

Ответ: 7,2

1. 1Обозначим данную трапецию через $ABCD$, её основания через $AD$ и $BC$, $AB=CD$. В четырёхугольник вписана окружность, поэтому суммы противоположных сторон равны: $AD+BC=AB+CD=\frac{180}{2}=90$. Значит, $AB=CD=45$.
2. 2Средняя линия трапеции $\frac{AD+BC}{2}=45$, а площадь равна произведению средней линии на высоту: $1620=45\cdot h$, откуда $h=36$.
3. 3Проведём высоту $BH$. В равнобедренной трапеции $AH=\frac{AD-BC}{2}$. Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора: $AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{45^2-36^2}=27$.
4. 4Тогда $AD-BC=54$ и $AD+BC=90$, откуда $AD=72$, $BC=18$.
5. 5Обозначим через $O$ точку пересечения диагоналей и проведём через $O$ перпендикуляр к основаниям; он пересекает $BC$ в точке $K$, $AD$ в точке $L$, и $KL=h=36$. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам ($\angle OBC=\angle ODA$ и $\angle OCB=\angle OAD$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$), поэтому их высоты $OK$ и $OL$ относятся как соответственные стороны: $OK:OL=BC:AD=18:72$.
6. 6Расстояние от $O$ до меньшего основания $BC$: $OK=\frac{36\cdot 18}{18+72}=7,2$.
7. 7Ответ: $7,2$