Задание 23 · часть 2 · 2 балла · сложный

Хорды AB и CD и расстояния от центра до них, найдите длину хорды CD: задание 23 ОГЭ по математике

Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Из первой хорды получаешь прямоугольный треугольник с катетами $\frac{A B}{2}$ и расстоянием, его гипотенуза равна радиусу. Для второй хорды радиус уже гипотенуза, и половина CD находится как катет. В конце удвой половину: самая частая потеря балла здесь. Пример: AB = 24 на расстоянии 9, радиус $\sqrt{12^{2} + 9^{2}} = 15$ . Для CD на расстоянии 12 половина $\sqrt{15^{2} - 12^{2}} = 9$ , а CD = 18.

Все типы задания 23

Проверь себя · 1 из 3

Отрезки

A B

C D

являются хордами окружности. Найдите длину хорды

C D

, если

A B = 40

, а расстояния от центра окружности до хорд

A B

C D

равны соответственно

48

20

Как решать задание 23 ОГЭ: длина хорды по расстояниям до центра

Проведи перпендикуляры из центра к обеим хордам и объясни, почему они делят хорды пополам.
Найди радиус по первой хорде и теореме Пифагора.
Найди половину второй хорды из второго прямоугольного треугольника.
Удвой её и запиши ответ. Если спрашивают расстояние до CD, найди его как катет: $\sqrt{R^{2} - {(\frac{C D}{2})}^{2}}$ .

Где ошибаются. Берут катетом всю хорду: $\sqrt{24^{2} + 9^{2}} = \sqrt{657}$ , корень нецелый. Катет здесь половина хорды, 12, и радиус $\sqrt{144 + 81} = 15$ .

Как проверить ответ. Длинная хорда ближе к центру: AB = 24 на расстоянии 9, CD = 18 на расстоянии 12. Если длинная хорда вышла дальше, ошибка в Пифагоре.

Правило

R^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + d^{2}

, где a хорда, d расстояние до центра;

\frac{a}{\sin A} = 2 R

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 23: Окружность: хорды, касательная, описанная окружность.

Прототипы банка ФИПИ: DD14BB, 1B191C, C96A5C, 141DCA

Примеры с решением

Пример 1

Отрезки

A B

C D

являются хордами окружности. Найдите длину хорды

C D

, если

A B = 12

, а расстояния от центра окружности до хорд

A B

C D

равны соответственно

8

6

Ответ и решение

Ответ: 16

1Пусть $O$ центр окружности. Проведём перпендикуляры $O H$ к хорде $A B$ и $O M$ к хорде $C D$ ; их длины равны расстояниям от центра до хорд. Перпендикуляр, проведённый из центра к хорде, делит её пополам: $A H = \frac{A B}{2} = 6$ , $O H = 8$ .
2Из прямоугольного треугольника $A H O$ по теореме Пифагора: $R = O A = A H^{2} + O H^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ .
3Из прямоугольного треугольника $C M O$ ( $O C = R = 10$ , $O M = 6$ ) по теореме Пифагора: $C M = O C^{2} - O M^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 64 = 8$ .
4 $M$ середина хорды $C D$ , поэтому $C D = 2 \cdot C M = 16$ .
5Ответ: $16$

Пример 2

Отрезки

A B

C D

являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды

C D

, если

A B = 14

C D = 40

, а расстояние от центра окружности до хорды

A B

равно

24

Ответ и решение

Ответ: 15

1Пусть $O$ центр окружности. Проведём перпендикуляры $O H$ к хорде $A B$ и $O M$ к хорде $C D$ ; их длины равны расстояниям от центра до хорд. Перпендикуляр, проведённый из центра к хорде, делит её пополам: $A H = \frac{A B}{2} = 7$ , $O H = 24$ .
2Из прямоугольного треугольника $A H O$ по теореме Пифагора: $R = O A = A H^{2} + O H^{2} = 7^{2} + 2 4^{2} = 625 = 25$ .
3Аналогично $C M = \frac{C D}{2} = 20$ , $O C = R = 25$ , и из прямоугольного треугольника $C M O$ : $O M = O C^{2} - C M^{2} = 2 5^{2} - 2 0^{2} = 225 = 15$ .
4Ответ: $15$

Пример 3

Отрезки

A B

C D

являются хордами окружности. Найдите длину хорды

C D

, если

A B = 40

, а расстояния от центра окружности до хорд

A B

C D

равны соответственно

21

20

Ответ и решение

Ответ: 42

1Пусть $O$ центр окружности. Проведём перпендикуляры $O H$ к хорде $A B$ и $O M$ к хорде $C D$ ; их длины равны расстояниям от центра до хорд. Перпендикуляр, проведённый из центра к хорде, делит её пополам: $A H = \frac{A B}{2} = 20$ , $O H = 21$ .
2Из прямоугольного треугольника $A H O$ по теореме Пифагора: $R = O A = A H^{2} + O H^{2} = 2 0^{2} + 2 1^{2} = 841 = 29$ .
3Из прямоугольного треугольника $C M O$ ( $O C = R = 29$ , $O M = 20$ ) по теореме Пифагора: $C M = O C^{2} - O M^{2} = 2 9^{2} - 2 0^{2} = 441 = 21$ .
4 $M$ середина хорды $C D$ , поэтому $C D = 2 \cdot C M = 42$ .
5Ответ: $42$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 23

Высота к гипотенузе по двум катетамсложный
Высота к гипотенузе по катету и гипотенузесложный
Высота ромба по отрезкам сторонысложный
Отрезок диагонали между параллельными прямымисложный
Биссектрисы углов при боковой стороне трапециисложный
Периметр параллелограмма по биссектрисесложный
Отрезок, параллельный основаниям трапециипро

Все 16 типов задания 23 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)