Задание 23 · часть 2 · 2 балла · сложный

Катет и гипотенуза, найдите высоту, проведённую к гипотенузе: задание 23 ОГЭ по математике

Сначала найди второй катет: $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$ . Затем приравняй две формулы площади и найди $h = \frac{a b}{c}$ . Числа обычно кратны тройке 3, 4, 5: из 42 и 70 получается катет 56 и высота 33,6. Ловушка: сложить квадраты вместо вычитания, ведь гипотенуза уже дана. Деление удобно начать с сокращения: $\frac{42 \cdot 56}{70} = \frac{3 \cdot 56}{5}$ . Проверка: высота меньше обоих катетов.

Все типы задания 23

Проверь себя · 1 из 3

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны

63

105

. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Как решать задание 23 ОГЭ: высота к гипотенузе по катету и гипотенузе

Найди второй катет по теореме Пифагора.
Запиши площадь двумя способами.
Вырази высоту через катеты и гипотенузу.
Вычисли и запиши ответ.

Где ошибаются. В формулу $h = \frac{a b}{c}$ ставят гипотенузу вместо катета: $\frac{42 \cdot 70}{56} = 52,5$ . Высота вышла больше катета 42, так не бывает.

Как проверить ответ. Посчитай площадь двумя способами: $\frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 56 = 1176$ и $\frac{1}{2} \cdot 70 \cdot 33,6 = 1176$ . Совпало, значит, высота верная.

Правило

h = \frac{a b}{c}

A B^{2} = A H \cdot A C

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 23: Прямоугольный треугольник и высота к гипотенузе.

Прототипы банка ФИПИ: E08426, 608A20, 16CCD8, 2924CE

Примеры с решением

Пример 1

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны

48

80

. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ и решение

Ответ: 38,4

1Пусть в треугольнике $A B C$ угол $C$ прямой, $A C = 48$ , $A B = 80$ , $C H$ высота, проведённая к гипотенузе $A B$ .
2По теореме Пифагора $B C = A B^{2} - A C^{2} = 8 0^{2} - 4 8^{2} = 4096 = 64$ .
3Площадь треугольника найдём двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C$ (половина произведения катетов) и $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$ (половина произведения стороны на проведённую к ней высоту).
4Значит, $A B \cdot C H = A C \cdot B C$ , $C H = \frac{48 \cdot 64}{80} = 38, 4$ .
5Ответ: $38, 4$

Пример 2

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны

75

125

. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ и решение

Ответ: 60

1Пусть в треугольнике $A B C$ угол $C$ прямой, $A C = 75$ , $A B = 125$ , $C H$ высота, проведённая к гипотенузе $A B$ .
2По теореме Пифагора $B C = A B^{2} - A C^{2} = 12 5^{2} - 7 5^{2} = 10000 = 100$ .
3Площадь треугольника найдём двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C$ (половина произведения катетов) и $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$ (половина произведения стороны на проведённую к ней высоту).
4Значит, $A B \cdot C H = A C \cdot B C$ , $C H = \frac{75 \cdot 100}{125} = 60$ .
5Ответ: $60$

Пример 3

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны

48

50

. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ и решение

Ответ: 13,44

1Пусть в треугольнике $A B C$ угол $C$ прямой, $A C = 48$ , $A B = 50$ , $C H$ высота, проведённая к гипотенузе $A B$ .
2По теореме Пифагора $B C = A B^{2} - A C^{2} = 5 0^{2} - 4 8^{2} = 196 = 14$ .
3Площадь треугольника найдём двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C$ (половина произведения катетов) и $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$ (половина произведения стороны на проведённую к ней высоту).
4Значит, $A B \cdot C H = A C \cdot B C$ , $C H = \frac{48 \cdot 14}{50} = 13, 44$ .
5Ответ: $13, 44$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 23

Все 16 типов задания 23 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)