Задание 23 · часть 2 · 2 балла · сложный

Катеты прямоугольного треугольника, найдите высоту к гипотенузе: задание 23 ОГЭ по математике

Найди гипотенузу по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна половине произведения катетов и одновременно половине произведения гипотенузы на высоту. Приравняй и получи $h = \frac{a b}{c}$ . Катеты в банке кратны тройке 3, 4, 5 или 7, 24, 25, поэтому гипотенуза целая, а высота часто десятичная: 4,8 или 57,6. Пример: катеты 75 и 100, гипотенуза 125, высота $\frac{75 \cdot 100}{125} = 60$ .

Все типы задания 23

Проверь себя · 1 из 3

Катеты прямоугольного треугольника равны

6

8

. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Как решать задание 23 ОГЭ: высота к гипотенузе по двум катетам

Найди гипотенузу по теореме Пифагора.
Запиши площадь через катеты и через гипотенузу с высотой.
Приравняй выражения и вырази высоту.
Вычисли и запиши ответ целым числом или десятичной дробью.

Где ошибаются. Оставляют половину только с одной стороны: $\frac{1}{2} a b = c h$ . Высота выходит вдвое меньше, 30 вместо 60. Сокращай $\frac{1}{2}$ в обеих частях.

Как проверить ответ. Высота меньше каждого катета: $60 < 75$ . Ещё проверка: проекция $\sqrt{75^{2} - 60^{2}} = 45$ , и $45 \cdot 125 = 5625 = 75^{2}$ .

Правило

h = \frac{a b}{c}

A B^{2} = A H \cdot A C

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 23: Прямоугольный треугольник и высота к гипотенузе.

Прототипы банка ФИПИ: 286410, A230D2, 6172A7, 95FF9C

Примеры с решением

Пример 1

Катеты прямоугольного треугольника равны

15

20

. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ и решение

Ответ: 12

1Пусть в треугольнике $A B C$ угол $C$ прямой, $A C = 15$ , $B C = 20$ , $C H$ высота, проведённая к гипотенузе $A B$ .
2По теореме Пифагора $A B = A C^{2} + B C^{2} = 1 5^{2} + 2 0^{2} = 625 = 25$ .
3Площадь треугольника найдём двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C$ (половина произведения катетов) и $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$ (половина произведения стороны на проведённую к ней высоту).
4Значит, $A B \cdot C H = A C \cdot B C$ , $C H = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12$ .
5Ответ: $12$

Пример 2

Катеты прямоугольного треугольника равны

54

72

. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ и решение

Ответ: 43,2

1Пусть в треугольнике $A B C$ угол $C$ прямой, $A C = 54$ , $B C = 72$ , $C H$ высота, проведённая к гипотенузе $A B$ .
2По теореме Пифагора $A B = A C^{2} + B C^{2} = 5 4^{2} + 7 2^{2} = 8100 = 90$ .
3Площадь треугольника найдём двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C$ (половина произведения катетов) и $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$ (половина произведения стороны на проведённую к ней высоту).
4Значит, $A B \cdot C H = A C \cdot B C$ , $C H = \frac{54 \cdot 72}{90} = 43, 2$ .
5Ответ: $43, 2$

Пример 3

Катеты прямоугольного треугольника равны

12

16

. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Ответ и решение

Ответ: 9,6

1Пусть в треугольнике $A B C$ угол $C$ прямой, $A C = 12$ , $B C = 16$ , $C H$ высота, проведённая к гипотенузе $A B$ .
2По теореме Пифагора $A B = A C^{2} + B C^{2} = 1 2^{2} + 1 6^{2} = 400 = 20$ .
3Площадь треугольника найдём двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C$ (половина произведения катетов) и $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$ (половина произведения стороны на проведённую к ней высоту).
4Значит, $A B \cdot C H = A C \cdot B C$ , $C H = \frac{12 \cdot 16}{20} = 9, 6$ .
5Ответ: $9, 6$

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 23

Все 16 типов задания 23 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)