Задание 24 · часть 2 · 2 балла · сложный

Биссектрисы двух углов параллелограмма пересекаются на стороне, докажите: задание 24 ОГЭ по математике

Каждая биссектриса отсекает равнобедренный треугольник: угол при стороне равен половине угла как накрест лежащий. Из первого треугольника NE = MN, из второго KE = KL. Противоположные стороны параллелограмма равны, MN = KL, значит, NE = KE. Оба треугольника разбери полностью, слово «аналогично» допустимо только для повторяющегося рассуждения. Ключевой шаг для угла M: $∠ N E M = ∠ E M L$ как накрест лежащие при KN ∥ LM, а $∠ E M L = ∠ N M E$ по условию, поэтому треугольник MNE равнобедренный.

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: биссектрисы двух углов пересекаются на стороне

Для первой биссектрисы найди накрест лежащие углы и докажи, что треугольник равнобедренный.
Сделай то же для второй биссектрисы.
Сравни полученные отрезки через равенство противоположных сторон.
Сделай вывод, что точка середина стороны.

Где ошибаются. Называют накрест лежащие углы, не указав прямые и секущую. Пиши полностью: ∠NEM = ∠EML при KN ∥ LM и секущей ME, иначе пара углов не определена.

Как проверить ответ. Проверь, что у каждого равенства NE = MN, KE = KL и MN = KL есть своя причина. Затем убедись, что E лежит на стороне KN, и сделай вывод NE = KE.

Правило

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Биссектриса в параллелограмме: равнобедренный треугольник.

Прототипы банка ФИПИ: E3F9F8, C7AA3F, B14289, 36C482

Примеры с решением

Пример 1

Биссектрисы углов

A

D

параллелограмма

A B C D

пересекаются в точке

O

, лежащей на стороне

B C

. Докажите, что

O

является серединой

B C

Ответ и решение

1 $A O$ является биссектрисой угла $A$ , поэтому $∠ B A O = ∠ O A D$ .
2Прямые $A D$ и $B C$ параллельны как противоположные стороны параллелограмма, $A O$ секущая, поэтому $∠ O A D = ∠ B O A$ как накрест лежащие углы. Значит, $∠ B A O = ∠ B O A$ .
3В треугольнике $B A O$ два угла равны, поэтому он равнобедренный: $B O = A B$ .
4Аналогично $D O$ является биссектрисой угла $D$ , а $∠ A D O = ∠ D O C$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $A D$ и $B C$ и секущей $D O$ . Поэтому $∠ C D O = ∠ D O C$ , треугольник $D C O$ равнобедренный и $C O = C D$ .
5 $A B = C D$ как противоположные стороны параллелограмма. Значит, $B O = A B = C D = C O$ . Точка $O$ лежит на отрезке $B C$ и $B O = O C$ , поэтому $O$ является серединой $B C$ .

Пример 2

Биссектрисы углов

L

K

параллелограмма

K L M N

пересекаются в точке

H

, лежащей на стороне

M N

. Докажите, что

H

является серединой

M N

Ответ и решение

1 $L H$ является биссектрисой угла $L$ , поэтому $∠ M L H = ∠ H L K$ .
2Прямые $K L$ и $M N$ параллельны как противоположные стороны параллелограмма, $L H$ секущая, поэтому $∠ H L K = ∠ M H L$ как накрест лежащие углы. Значит, $∠ M L H = ∠ M H L$ .
3В треугольнике $M L H$ два угла равны, поэтому он равнобедренный: $M H = L M$ .
4Аналогично $K H$ является биссектрисой угла $K$ , а $∠ L K H = ∠ K H N$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $K L$ и $M N$ и секущей $K H$ . Поэтому $∠ N K H = ∠ K H N$ , треугольник $K N H$ равнобедренный и $N H = K N$ .
5 $L M = K N$ как противоположные стороны параллелограмма. Значит, $M H = L M = K N = N H$ . Точка $H$ лежит на отрезке $M N$ и $M H = H N$ , поэтому $H$ является серединой $M N$ .

Пример 3

Биссектрисы углов

C

D

параллелограмма

A B C D

пересекаются в точке

O

, лежащей на стороне

A B

. Докажите, что

O

является серединой

A B

Ответ и решение

1 $C O$ является биссектрисой угла $C$ , поэтому $∠ B C O = ∠ O C D$ .
2Прямые $C D$ и $A B$ параллельны как противоположные стороны параллелограмма, $C O$ секущая, поэтому $∠ O C D = ∠ B O C$ как накрест лежащие углы. Значит, $∠ B C O = ∠ B O C$ .
3В треугольнике $B C O$ два угла равны, поэтому он равнобедренный: $B O = B C$ .
4Аналогично $D O$ является биссектрисой угла $D$ , а $∠ C D O = ∠ D O A$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $C D$ и $A B$ и секущей $D O$ . Поэтому $∠ A D O = ∠ D O A$ , треугольник $D A O$ равнобедренный и $A O = A D$ .
5 $B C = A D$ как противоположные стороны параллелограмма. Значит, $B O = B C = A D = A O$ . Точка $O$ лежит на отрезке $A B$ и $B O = O A$ , поэтому $O$ является серединой $A B$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)