Задание 24 · часть 2 · 2 балла · сложный

Основания трапеции и диагональ, докажите, что треугольники подобны: задание 24 ОГЭ по математике

Диагональ служит секущей при параллельных основаниях, поэтому углы при ней накрест лежащие. Посчитай два отношения из чисел условия: в банке они всегда равны, например $\frac{9}{12} = \frac{12}{16}$ . Проверь, что пропорциональные стороны заключают именно эти равные углы. Признак подобия здесь второй: две стороны и угол между ними. В другом варианте AD = 18, BC = 50, AC = 30: $\frac{18}{30} = \frac{30}{50}$ , а равные углы DAC и ACB накрест лежащие при секущей AC. Диагональ входит в обе дроби.

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: подобие треугольников при диагонали трапеции

Найди равные накрест лежащие углы при диагонали.
Посчитай отношения сторон, прилежащих к этим углам.
Убедись, что угол лежит между пропорциональными сторонами.
Сошлись на второй признак подобия.

Где ошибаются. Сравнивают не соответственные стороны: $\frac{A D}{B C} = \frac{18}{50}$ и $\frac{A C}{A C} = 1$ не равны, и кажется, что подобия нет. Соответствуют AD и AC, AC и BC.

Как проверить ответ. Посчитай оба отношения десятичной дробью: $18 : 30 = 0,6$ и $30 : 50 = 0,6$ . Затем убедись, что равный угол лежит между этими сторонами в обоих треугольниках.

Правило

Если

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}

и углы между этими сторонами равны, треугольники подобны.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Подобие треугольников в доказательствах.

Прототипы банка ФИПИ: BE9A49, 9D9F45, F149FA, D294F5, E7E298

Примеры с решением

Пример 1

Основания

M K

N P

трапеции

M N P K

равны соответственно

2

32

N K = 8

. Докажите, что треугольники

M K N

K N P

подобны.

Ответ и решение

1Прямые $M K$ и $N P$ параллельны как основания трапеции, $N K$ секущая, поэтому $∠ M K N = ∠ K N P$ как накрест лежащие углы.
2 $\frac{M K}{N K} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $\frac{N K}{N P} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ , значит, $\frac{M K}{N K} = \frac{N K}{N P}$ .
3Итак, в треугольниках $M K N$ и $K N P$ стороны $M K$ и $N K$ , заключающие угол $M K N$ , пропорциональны сторонам $N K$ и $N P$ , заключающим равный ему угол $K N P$ .
4Значит, треугольники $M K N$ и $K N P$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (второй признак подобия треугольников).

Пример 2

Основания

A D

B C

трапеции

A B C D

равны соответственно

3

48

B D = 12

. Докажите, что треугольники

A D B

D B C

подобны.

Ответ и решение

1Прямые $A D$ и $B C$ параллельны как основания трапеции, $B D$ секущая, поэтому $∠ A D B = ∠ D B C$ как накрест лежащие углы.
2 $\frac{A D}{B D} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ и $\frac{B D}{B C} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$ , значит, $\frac{A D}{B D} = \frac{B D}{B C}$ .
3Итак, в треугольниках $A D B$ и $D B C$ стороны $A D$ и $B D$ , заключающие угол $A D B$ , пропорциональны сторонам $B D$ и $B C$ , заключающим равный ему угол $D B C$ .
4Значит, треугольники $A D B$ и $D B C$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (второй признак подобия треугольников).

Пример 3

Основания

B C

A D

трапеции

A B C D

равны соответственно

3

12

A C = 6

. Докажите, что треугольники

B C A

C A D

подобны.

Ответ и решение

1Прямые $B C$ и $A D$ параллельны как основания трапеции, $A C$ секущая, поэтому $∠ B C A = ∠ C A D$ как накрест лежащие углы.
2 $\frac{B C}{A C} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ и $\frac{A C}{A D} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ , значит, $\frac{B C}{A C} = \frac{A C}{A D}$ .
3Итак, в треугольниках $B C A$ и $C A D$ стороны $B C$ и $A C$ , заключающие угол $B C A$ , пропорциональны сторонам $A C$ и $A D$ , заключающим равный ему угол $C A D$ .
4Значит, треугольники $B C A$ и $C A D$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (второй признак подобия треугольников).

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)