Задание 24 · часть 2 · 2 балла · сложный

Прямая через центр параллелограмма отсекает равные отрезки, докажите: задание 24 ОГЭ по математике

Рассмотри два треугольника с вершиной в точке пересечения диагоналей. Одна пара сторон равна, потому что диагонали делятся пополам. Углы при этой точке вертикальные, углы при концах диагонали накрест лежащие при параллельных сторонах. Это второй признак равенства: сторона и два прилежащих угла. Проверь, что равные углы действительно прилежат к равной стороне.

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: прямая через центр параллелограмма

Выбери два треугольника, в которые входят нужные отрезки.
Докажи равенство половин диагонали.
Найди вертикальные и накрест лежащие углы.
Сошлись на второй признак равенства и сделай вывод.

Где ошибаются. Пишут, что отрезки равны «по симметрии», без признака равенства. Центральную симметрию тоже надо доказывать, проще и надёжнее через равенство двух треугольников.

Как проверить ответ. Выпиши три элемента признака в столбик: сторона (половины диагонали), угол при O (вертикальные), угол при вершине (накрест лежащие, с прямыми и секущей). Все три на месте?

Правило

Три условия признака равенства, каждое с причиной; точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Равные треугольники и равноудалённые точки.

Прототипы банка ФИПИ: D2ED10, B609A6, 3842C4, 18E434

Примеры с решением

Пример 1

Через точку

P

пересечения диагоналей параллелограмма

A B C D

проведена прямая, пересекающая стороны

A B

C D

в точках

F

N

соответственно. Докажите, что отрезки

B F

D N

равны.

Ответ и решение

1Рассмотрим треугольники $B P F$ и $D P N$ .
2 $B P = D P$ , так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
3 $∠ B P F = ∠ D P N$ как вертикальные углы.
4Прямые $A B$ и $C D$ параллельны как противоположные стороны параллелограмма, $B D$ секущая, поэтому $∠ P B F = ∠ P D N$ как накрест лежащие углы.
5Значит, треугольники $B P F$ и $D P N$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Отсюда $B F = D N$ .

Пример 2

Через точку

H

пересечения диагоналей параллелограмма

M N P K

проведена прямая, пересекающая стороны

M N

P K

в точках

F

Q

соответственно. Докажите, что отрезки

M F

P Q

равны.

Ответ и решение

1Рассмотрим треугольники $M H F$ и $P H Q$ .
2 $M H = P H$ , так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
3 $∠ M H F = ∠ P H Q$ как вертикальные углы.
4Прямые $M N$ и $P K$ параллельны как противоположные стороны параллелограмма, $M P$ секущая, поэтому $∠ H M F = ∠ H P Q$ как накрест лежащие углы.
5Значит, треугольники $M H F$ и $P H Q$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Отсюда $M F = P Q$ .

Пример 3

Через точку

M

пересечения диагоналей параллелограмма

A B C D

проведена прямая, пересекающая стороны

A B

C D

в точках

E

F

соответственно. Докажите, что отрезки

A E

C F

равны.

Ответ и решение

1Рассмотрим треугольники $A M E$ и $C M F$ .
2 $A M = C M$ , так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
3 $∠ A M E = ∠ C M F$ как вертикальные углы.
4Прямые $A B$ и $C D$ параллельны как противоположные стороны параллелограмма, $A C$ секущая, поэтому $∠ M A E = ∠ M C F$ как накрест лежащие углы.
5Значит, треугольники $A M E$ и $C M F$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Отсюда $A E = C F$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)