Задание 24 · часть 2 · 2 балла · сложный

Диагонали трапеции пересекаются, докажите равенство площадей треугольников: задание 24 ОГЭ по математике

Возьми два больших треугольника с общим основанием трапеции и вершинами на другом основании. Их высоты равны расстоянию между основаниями, поэтому площади равны. Каждый из них состоит из искомого треугольника и общего треугольника при основании. Вычти общую часть: площади искомых треугольников равны. Обязательно назови, какие треугольники из каких состоят. Для KLMN с основаниями KN и LM: $S_{L M N} = S_{L M K}$ , обе площади содержат $S_{L Q M}$ , остаток даёт $S_{N Q M} = S_{L Q K}$ .

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: равные площади треугольников у боковых сторон

Выбери два треугольника с общим основанием трапеции.
Докажи, что их высоты равны, и сравни площади.
Разложи каждый треугольник на две части через точку пересечения диагоналей.
Вычти общую часть и сделай вывод.

Где ошибаются. Пишут, что треугольники NQM и LQK равны. В общем случае они не равны, у них равны только площади, и в выводе нужно слово «равновелики».

Как проверить ответ. Запиши две суммы: $S_{L M N} = S_{L Q M} + S_{N Q M}$ и $S_{L M K} = S_{L Q M} + S_{L Q K}$ . Проверь, что равенство $S_{L M N} = S_{L M K}$ обосновано общим основанием LM и равными высотами.

Правило

S = \frac{1}{2} a h

; треугольники с общим основанием и равными высотами равновелики.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Доказательства с площадями треугольников и трапеции.

Прототипы банка ФИПИ: 2EF3D2, DAEC5D

Примеры с решением

Пример 1

В трапеции

A B C D

с основаниями

B C

A D

диагонали пересекаются в точке

F

. Докажите, что площади треугольников

B F A

D F C

равны.

Ответ и решение

1Проведём высоты $A L$ и $D R$ трапеции. Они равны, так как каждая из них равна расстоянию между параллельными прямыми $A D$ и $B C$ .
2Треугольники $B A C$ и $B D C$ имеют общее основание $B C$ , а их высоты, проведённые к нему, равны $A L$ и $D R$ . Поэтому $S_{B A C} = \frac{1}{2} B C \cdot A L = \frac{1}{2} B C \cdot D R = S_{B D C}$ .
3Точка $F$ лежит на диагоналях $A C$ и $B D$ , поэтому треугольник $B A C$ состоит из треугольников $B F A$ и $B F C$ , а треугольник $B D C$ состоит из треугольников $D F C$ и $B F C$ : $S_{B A C} = S_{B F A} + S_{B F C}$ , $S_{B D C} = S_{D F C} + S_{B F C}$ .
4Вычитая из равных площадей $S_{B A C}$ и $S_{B D C}$ площадь треугольника $B F C$ , получаем $S_{B F A} = S_{D F C}$ .

Пример 2

В трапеции

K L M N

с основаниями

L M

K N

диагонали пересекаются в точке

T

. Докажите, что площади треугольников

M T N

K T L

равны.

Ответ и решение

1Проведём высоты $N R$ и $K Q$ трапеции. Они равны, так как каждая из них равна расстоянию между параллельными прямыми $K N$ и $L M$ .
2Треугольники $M N L$ и $M K L$ имеют общее основание $L M$ , а их высоты, проведённые к нему, равны $N R$ и $K Q$ . Поэтому $S_{M N L} = \frac{1}{2} L M \cdot N R = \frac{1}{2} L M \cdot K Q = S_{M K L}$ .
3Точка $T$ лежит на диагоналях $L N$ и $K M$ , поэтому треугольник $M N L$ состоит из треугольников $M T N$ и $M T L$ , а треугольник $M K L$ состоит из треугольников $K T L$ и $M T L$ : $S_{M N L} = S_{M T N} + S_{M T L}$ , $S_{M K L} = S_{K T L} + S_{M T L}$ .
4Вычитая из равных площадей $S_{M N L}$ и $S_{M K L}$ площадь треугольника $M T L$ , получаем $S_{M T N} = S_{K T L}$ .

Пример 3

В трапеции

K L M N

с основаниями

L M

K N

диагонали пересекаются в точке

P

. Докажите, что площади треугольников

L P K

N P M

равны.

Ответ и решение

1Проведём высоты $K O$ и $N E$ трапеции. Они равны, так как каждая из них равна расстоянию между параллельными прямыми $K N$ и $L M$ .
2Треугольники $L K M$ и $L N M$ имеют общее основание $L M$ , а их высоты, проведённые к нему, равны $K O$ и $N E$ . Поэтому $S_{L K M} = \frac{1}{2} L M \cdot K O = \frac{1}{2} L M \cdot N E = S_{L N M}$ .
3Точка $P$ лежит на диагоналях $K M$ и $L N$ , поэтому треугольник $L K M$ состоит из треугольников $L P K$ и $L P M$ , а треугольник $L N M$ состоит из треугольников $N P M$ и $L P M$ : $S_{L K M} = S_{L P K} + S_{L P M}$ , $S_{L N M} = S_{N P M} + S_{L P M}$ .
4Вычитая из равных площадей $S_{L K M}$ и $S_{L N M}$ площадь треугольника $L P M$ , получаем $S_{L P K} = S_{N P M}$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)