Задание 24 · часть 2 · 2 балла · сложный

Точка внутри параллелограмма, сумма площадей двух треугольников: задание 24 ОГЭ по математике

Проведи через точку прямую, перпендикулярную двум параллельным сторонам. Отрезок этой прямой внутри фигуры равен высоте параллелограмма и состоит из двух высот треугольников. Основания треугольников равны как противоположные стороны. Вынеси общее основание за скобку и получишь половину произведения стороны на высоту. Отдельно напиши, почему точка лежит между сторонами: она внутри параллелограмма.

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: точка внутри параллелограмма и площади

Проведи через точку перпендикуляр к паре параллельных сторон.
Объясни, что он делится точкой на высоты двух треугольников.
Запиши площади треугольников через основания и высоты.
Сложи площади и сравни с площадью параллелограмма.

Где ошибаются. Доказывают для удобной точки: ставят её в центр или на диагональ. Точка в условии произвольная, и рассуждение не должно зависеть от её положения.

Как проверить ответ. Проверь ключевую сумму: $h_{1} + h_{2} = h$ , тогда $\frac{1}{2} a h_{1} + \frac{1}{2} a h_{2} = \frac{1}{2} a h$ , ровно половина площади $a h$ . Если этой суммы в решении нет, шаг пропущен.

Правило

S = \frac{1}{2} a h

; треугольники с общим основанием и равными высотами равновелики.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Доказательства с площадями треугольников и трапеции.

Прототипы банка ФИПИ: BD4A4E, 0796BC

Примеры с решением

Пример 1

Внутри параллелограмма

A B C D

выбрали произвольную точку

P

. Докажите, что сумма площадей треугольников

B P C

A P D

равна половине площади параллелограмма.

Ответ и решение

1Проведём через точку $P$ прямую, перпендикулярную $A D$ . Она пересекает прямые $A D$ и $B C$ в точках $E$ и $N$ ; так как $B C ∥ A D$ , то $N E ⊥ B C$ , и $N E$ является высотой параллелограмма.
2Точка $P$ лежит внутри параллелограмма, то есть между параллельными прямыми $B C$ и $A D$ , поэтому она лежит на отрезке $N E$ и $P N + P E = N E$ .
3 $P N$ является высотой треугольника $B P C$ , проведённой к стороне $B C$ , а $P E$ является высотой треугольника $A P D$ , проведённой к стороне $A D$ . Поэтому $S_{B P C} = \frac{1}{2} B C \cdot P N$ , $S_{A P D} = \frac{1}{2} A D \cdot P E$ .
4 $A D = B C$ как противоположные стороны параллелограмма, значит, $S_{B P C} + S_{A P D} = \frac{1}{2} B C \cdot P N + \frac{1}{2} B C \cdot P E = \frac{1}{2} B C \cdot (P N + P E) = \frac{1}{2} B C \cdot N E$ .
5Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней: $S_{A B C D} = B C \cdot N E$ . Поэтому $S_{B P C} + S_{A P D} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ .

Пример 2

Внутри параллелограмма

K L M N

выбрали произвольную точку

R

. Докажите, что сумма площадей треугольников

M R N

L R K

равна половине площади параллелограмма.

Ответ и решение

1Проведём через точку $R$ прямую, перпендикулярную $K L$ . Она пересекает прямые $K L$ и $M N$ в точках $F$ и $E$ ; так как $M N ∥ K L$ , то $E F ⊥ M N$ , и $E F$ является высотой параллелограмма.
2Точка $R$ лежит внутри параллелограмма, то есть между параллельными прямыми $M N$ и $K L$ , поэтому она лежит на отрезке $E F$ и $R E + R F = E F$ .
3 $R E$ является высотой треугольника $M R N$ , проведённой к стороне $M N$ , а $R F$ является высотой треугольника $L R K$ , проведённой к стороне $K L$ . Поэтому $S_{M R N} = \frac{1}{2} M N \cdot R E$ , $S_{L R K} = \frac{1}{2} K L \cdot R F$ .
4 $K L = M N$ как противоположные стороны параллелограмма, значит, $S_{M R N} + S_{L R K} = \frac{1}{2} M N \cdot R E + \frac{1}{2} M N \cdot R F = \frac{1}{2} M N \cdot (R E + R F) = \frac{1}{2} M N \cdot E F$ .
5Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней: $S_{K L M N} = M N \cdot E F$ . Поэтому $S_{M R N} + S_{L R K} = \frac{1}{2} S_{K L M N}$ .

Пример 3

Внутри параллелограмма

M N P K

выбрали произвольную точку

Q

. Докажите, что сумма площадей треугольников

P Q K

N Q M

равна половине площади параллелограмма.

Ответ и решение

1Проведём через точку $Q$ прямую, перпендикулярную $M N$ . Она пересекает прямые $M N$ и $P K$ в точках $L$ и $O$ ; так как $P K ∥ M N$ , то $O L ⊥ P K$ , и $O L$ является высотой параллелограмма.
2Точка $Q$ лежит внутри параллелограмма, то есть между параллельными прямыми $P K$ и $M N$ , поэтому она лежит на отрезке $O L$ и $QO + Q L = O L$ .
3 $QO$ является высотой треугольника $P Q K$ , проведённой к стороне $P K$ , а $Q L$ является высотой треугольника $N QM$ , проведённой к стороне $M N$ . Поэтому $S_{P Q K} = \frac{1}{2} P K \cdot QO$ , $S_{N QM} = \frac{1}{2} M N \cdot Q L$ .
4 $M N = P K$ как противоположные стороны параллелограмма, значит, $S_{P Q K} + S_{N QM} = \frac{1}{2} P K \cdot QO + \frac{1}{2} P K \cdot Q L = \frac{1}{2} P K \cdot (QO + Q L) = \frac{1}{2} P K \cdot O L$ .
5Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней: $S_{M N P K} = P K \cdot O L$ . Поэтому $S_{P Q K} + S_{N QM} = \frac{1}{2} S_{M N P K}$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)