Задание 24 · часть 2 · 2 балла · сложный

Точка на средней линии трапеции, сумма площадей двух треугольников: задание 24 ОГЭ по математике

Проведи через точку перпендикуляр к основаниям: это высота трапеции. Средняя линия параллельна основаниям и делит боковую сторону пополам, поэтому по теореме Фалеса она делит пополам и высоту. Каждый треугольник имеет высоту, равную половине высоты трапеции. Сумма площадей равна $\frac{1}{2} (a + b) \cdot \frac{h}{2}$ , то есть половине площади трапеции. Точка T произвольная, поэтому не ставь её в середину EF: рассуждение должно работать при любом её положении. Основания треугольников DTA и CTB это AD и BC.

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: точка на средней линии трапеции

Проведи через точку высоту трапеции.
Докажи по теореме Фалеса, что точка делит высоту пополам.
Запиши площади треугольников через основания и половину высоты.
Сравни сумму с формулой площади трапеции.

Где ошибаются. Для треугольника DTA берут всю высоту трапеции: $\frac{1}{2} A D \cdot h$ . Вершина T лежит на средней линии, поэтому высота треугольника равна $\frac{h}{2}$ .

Как проверить ответ. Сложи формулы: $\frac{1}{2} A D \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2} B C \cdot \frac{h}{2} = \frac{A D + B C}{2} \cdot \frac{h}{2}$ . Это половина площади трапеции $\frac{A D + B C}{2} \cdot h$ .

Правило

S = \frac{1}{2} a h

; треугольники с общим основанием и равными высотами равновелики.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Доказательства с площадями треугольников и трапеции.

Прототипы банка ФИПИ: 7A5DF6, 8A0155, F57F67

Примеры с решением

Пример 1

На средней линии

F M

трапеции

A B C D

с основаниями

B C

A D

выбрали произвольную точку

K

. Докажите, что сумма площадей треугольников

A K D

B K C

равна половине площади трапеции.

Ответ и решение

1Проведём через точку $K$ прямую, перпендикулярную основаниям. Она пересекает прямые $A D$ и $B C$ в точках $N$ и $R$ , и $N R$ является высотой трапеции.
2Средняя линия $F M$ параллельна основаниям, а $F$ середина $A B$ . Параллельные прямые $A D$ , $F M$ и $B C$ отсекают на прямой $A B$ равные отрезки $A F$ и $F B$ , поэтому по теореме Фалеса они отсекают равные отрезки и на прямой $N R$ : $K N = K R = \frac{1}{2} N R$ .
3 $K N$ является высотой треугольника $A K D$ , проведённой к стороне $A D$ , а $K R$ является высотой треугольника $B K C$ , проведённой к стороне $B C$ . Поэтому $S_{A K D} + S_{B K C} = \frac{1}{2} A D \cdot K N + \frac{1}{2} B C \cdot K R = \frac{1}{2} (A D + B C) \cdot \frac{1}{2} N R$ .
4Площадь трапеции равна $S_{A B C D} = \frac{1}{2} (B C + A D) \cdot N R$ , поэтому $S_{A K D} + S_{B K C} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ .

Пример 2

На средней линии

K F

трапеции

P Q R T

с основаниями

P T

Q R

выбрали произвольную точку

N

. Докажите, что сумма площадей треугольников

R N Q

T N P

равна половине площади трапеции.

Ответ и решение

1Проведём через точку $N$ прямую, перпендикулярную основаниям. Она пересекает прямые $QR$ и $P T$ в точках $M$ и $H$ , и $M H$ является высотой трапеции.
2Средняя линия $K F$ параллельна основаниям, а $K$ середина $R T$ . Параллельные прямые $QR$ , $K F$ и $P T$ отсекают на прямой $R T$ равные отрезки $R K$ и $K T$ , поэтому по теореме Фалеса они отсекают равные отрезки и на прямой $M H$ : $N M = N H = \frac{1}{2} M H$ .
3 $N M$ является высотой треугольника $R N Q$ , проведённой к стороне $QR$ , а $N H$ является высотой треугольника $T N P$ , проведённой к стороне $P T$ . Поэтому $S_{R N Q} + S_{T N P} = \frac{1}{2} QR \cdot N M + \frac{1}{2} P T \cdot N H = \frac{1}{2} (QR + P T) \cdot \frac{1}{2} M H$ .
4Площадь трапеции равна $S_{P QR T} = \frac{1}{2} (P T + QR) \cdot M H$ , поэтому $S_{R N Q} + S_{T N P} = \frac{1}{2} S_{P QR T}$ .

Пример 3

На средней линии

E F

трапеции

A B C D

с основаниями

A D

B C

выбрали произвольную точку

N

. Докажите, что сумма площадей треугольников

B N C

A N D

равна половине площади трапеции.

Ответ и решение

1Проведём через точку $N$ прямую, перпендикулярную основаниям. Она пересекает прямые $B C$ и $A D$ в точках $M$ и $T$ , и $M T$ является высотой трапеции.
2Средняя линия $E F$ параллельна основаниям, а $E$ середина $A B$ . Параллельные прямые $B C$ , $E F$ и $A D$ отсекают на прямой $A B$ равные отрезки $B E$ и $E A$ , поэтому по теореме Фалеса они отсекают равные отрезки и на прямой $M T$ : $N M = N T = \frac{1}{2} M T$ .
3 $N M$ является высотой треугольника $B N C$ , проведённой к стороне $B C$ , а $N T$ является высотой треугольника $A N D$ , проведённой к стороне $A D$ . Поэтому $S_{B N C} + S_{A N D} = \frac{1}{2} B C \cdot N M + \frac{1}{2} A D \cdot N T = \frac{1}{2} (B C + A D) \cdot \frac{1}{2} M T$ .
4Площадь трапеции равна $S_{A B C D} = \frac{1}{2} (A D + B C) \cdot M T$ , поэтому $S_{B N C} + S_{A N D} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)