Задание 24 · часть 2 · 2 балла · про

F середина боковой стороны трапеции, площадь FAB равна половине трапеции: задание 24 ОГЭ по математике

Продолжи отрезок от вершины через середину боковой стороны до пересечения с прямой другого основания. Получатся два равных треугольника по стороне и двум прилежащим углам, поэтому трапеция равновелика большому треугольнику. В этом треугольнике середина боковой стороны делит отрезок пополам, и нужный отрезок становится медианой. Медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: середина боковой стороны и половина площади

Продолжи отрезок через середину боковой стороны до прямой основания.
Докажи равенство двух отсечённых треугольников.
Покажи, что площадь трапеции равна площади большого треугольника.
Используй свойство медианы и сделай вывод.

Где ошибаются. Равенство отсечённых треугольников доказывают по равным отрезкам и вертикальным углам, забыв второй угол. Нужен ещё угол при вершине: он накрест лежащий при параллельных основаниях.

Как проверить ответ. Проверь цепочку площадей: трапеция равна большому треугольнику, медиана делит его пополам. У каждого звена должна быть ссылка: признак равенства и свойство медианы.

Правило

S = \frac{1}{2} a h

; треугольники с общим основанием и равными высотами равновелики.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Доказательства с площадями треугольников и трапеции.

Прототипы банка ФИПИ: ABC508, 955204

Примеры с решением

Пример 1

Точка

T

является серединой боковой стороны

A B

трапеции

A B C D

. Докажите, что площадь треугольника

T D C

равна половине площади трапеции.

Ответ и решение

1Продолжим отрезок $D T$ до пересечения с прямой $B C$ в точке $E$ .
2Рассмотрим треугольники $T A D$ и $T B E$ : $T A = T B$ , так как $T$ середина $A B$ ; $∠ D T A = ∠ E T B$ как вертикальные углы; $∠ T A D = ∠ T B E$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $A D$ и $C E$ и секущей $A B$ .
3Значит, треугольники $T A D$ и $T B E$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда $D T = T E$ и $S_{T A D} = S_{T B E}$ .
4Отрезок $D T$ делит трапецию на четырёхугольник $D C B T$ и треугольник $T A D$ , а треугольник $D C E$ состоит из четырёхугольника $D C B T$ и треугольника $T B E$ . Поэтому $S_{A B C D} = S_{D C B T} + S_{T A D} = S_{D C B T} + S_{T B E} = S_{D C E}$ .
5Так как $D T = T E$ , отрезок $C T$ является медианой треугольника $D C E$ . Медиана делит треугольник на два треугольника с равными основаниями и общей высотой, то есть на два равновеликих треугольника: $S_{T D C} = \frac{1}{2} S_{D C E} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ .

Пример 2

Точка

T

является серединой боковой стороны

C D

трапеции

A B C D

. Докажите, что площадь треугольника

T A B

равна половине площади трапеции.

Ответ и решение

1Продолжим отрезок $A T$ до пересечения с прямой $B C$ в точке $L$ .
2Рассмотрим треугольники $T D A$ и $T C L$ : $T D = T C$ , так как $T$ середина $C D$ ; $∠ A T D = ∠ L T C$ как вертикальные углы; $∠ T D A = ∠ T C L$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $A D$ и $B L$ и секущей $C D$ .
3Значит, треугольники $T D A$ и $T C L$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда $A T = T L$ и $S_{T D A} = S_{T C L}$ .
4Отрезок $A T$ делит трапецию на четырёхугольник $A B C T$ и треугольник $T D A$ , а треугольник $A B L$ состоит из четырёхугольника $A B C T$ и треугольника $T C L$ . Поэтому $S_{A B C D} = S_{A B C T} + S_{T D A} = S_{A B C T} + S_{T C L} = S_{A B L}$ .
5Так как $A T = T L$ , отрезок $B T$ является медианой треугольника $A B L$ . Медиана делит треугольник на два треугольника с равными основаниями и общей высотой, то есть на два равновеликих треугольника: $S_{T A B} = \frac{1}{2} S_{A B L} = \frac{1}{2} S_{A B C D}$ .

Пример 3

Точка

R

является серединой боковой стороны

M N

трапеции

M N P K

. Докажите, что площадь треугольника

R P K

равна половине площади трапеции.

Ответ и решение

1Продолжим отрезок $P R$ до пересечения с прямой $M K$ в точке $F$ .
2Рассмотрим треугольники $R N P$ и $R M F$ : $R N = R M$ , так как $R$ середина $M N$ ; $∠ P R N = ∠ F R M$ как вертикальные углы; $∠ R N P = ∠ R M F$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $N P$ и $K F$ и секущей $M N$ .
3Значит, треугольники $R N P$ и $R M F$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда $P R = R F$ и $S_{R N P} = S_{R M F}$ .
4Отрезок $P R$ делит трапецию на четырёхугольник $P K M R$ и треугольник $R N P$ , а треугольник $P K F$ состоит из четырёхугольника $P K M R$ и треугольника $R M F$ . Поэтому $S_{M N P K} = S_{P K M R} + S_{R N P} = S_{P K M R} + S_{R M F} = S_{P K F}$ .
5Так как $P R = R F$ , отрезок $K R$ является медианой треугольника $P K F$ . Медиана делит треугольник на два треугольника с равными основаниями и общей высотой, то есть на два равновеликих треугольника: $S_{R P K} = \frac{1}{2} S_{P K F} = \frac{1}{2} S_{M N P K}$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)