Задание 24 · часть 2 · 2 балла · про

В остроугольном треугольнике проведены высоты, докажите равенство углов: задание 24 ОГЭ по математике

Две высоты дают два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой. Медиана к гипотенузе равна её половине, поэтому четыре точки лежат на одной окружности с центром в середине этой стороны. Нужные углы вписанные и опираются на одну дугу. Укажи, что вершины этих углов лежат по одну сторону от хорды: иначе углы в сумме дали бы 180°.

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: равные углы при высотах треугольника

Найди два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой.
Докажи, что четыре точки лежат на одной окружности.
Определи дугу, на которую опираются оба угла.
Сошлись на равенство вписанных углов.

Где ошибаются. Путают центр окружности: им служит середина общей гипотенузы, а не точка пересечения высот. Радиус равен половине этой стороны по свойству медианы.

Как проверить ответ. Назови хорду, на которую опираются оба угла, и убедись, что она одна. Проверь по рисунку, что вершины углов по одну сторону от неё, и что это написано в решении.

Правило

Вписанные углы на одну дугу равны; в вписанном четырёхугольнике

∠ A + ∠ C = 180^{\circ}

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Вписанные углы и вписанный четырёхугольник.

Прототипы банка ФИПИ: DFBC4D, 1B07A7, 37CCE6, 6B3568

Примеры с решением

Пример 1

В остроугольном треугольнике

P Q R

проведены высоты

R L

Q K

. Докажите, что углы

Q K L

Q R L

равны.

Ответ и решение

1Треугольник $R P Q$ остроугольный, поэтому основания высот $L$ и $K$ лежат на сторонах $P Q$ и $P R$ . Треугольники $R L Q$ и $R K Q$ прямоугольные (с прямыми углами $L$ и $K$ ) и имеют общую гипотенузу $QR$ .
2Пусть $O$ середина $QR$ . Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому $O L = \frac{1}{2} QR = O R$ и $O K = \frac{1}{2} QR = O R$ .
3Значит, $O R = O Q = O L = O K$ , и точки $R$ , $K$ , $L$ , $Q$ лежат на окружности с центром $O$ .
4Точки $R$ и $K$ лежат на стороне $P R$ , поэтому они находятся по одну сторону от прямой $P Q$ , то есть от прямой $Q L$ . Вписанные углы $Q K L$ и $QR L$ опираются на одну и ту же дугу $Q L$ , поэтому $∠ Q K L = ∠ QR L$ .

Пример 2

В остроугольном треугольнике

P Q R

проведены высоты

Q O

R E

. Докажите, что углы

R E O

R Q O

равны.

Ответ и решение

1Треугольник $QP R$ остроугольный, поэтому основания высот $O$ и $E$ лежат на сторонах $P R$ и $P Q$ . Треугольники $QO R$ и $QE R$ прямоугольные (с прямыми углами $O$ и $E$ ) и имеют общую гипотенузу $QR$ .
2Пусть $F$ середина $QR$ . Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому $F O = \frac{1}{2} QR = F Q$ и $F E = \frac{1}{2} QR = F Q$ .
3Значит, $F Q = F R = F O = F E$ , и точки $Q$ , $E$ , $O$ , $R$ лежат на окружности с центром $F$ .
4Точки $Q$ и $E$ лежат на стороне $P Q$ , поэтому они находятся по одну сторону от прямой $P R$ , то есть от прямой $R O$ . Вписанные углы $R E O$ и $R QO$ опираются на одну и ту же дугу $R O$ , поэтому $∠ R E O = ∠ R QO$ .

Пример 3

В остроугольном треугольнике

A B C

проведены высоты

A P

C O

. Докажите, что углы

C O P

C A P

равны.

Ответ и решение

1Треугольник $A B C$ остроугольный, поэтому основания высот $P$ и $O$ лежат на сторонах $B C$ и $A B$ . Треугольники $A P C$ и $A O C$ прямоугольные (с прямыми углами $P$ и $O$ ) и имеют общую гипотенузу $A C$ .
2Пусть $M$ середина $A C$ . Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому $M P = \frac{1}{2} A C = M A$ и $M O = \frac{1}{2} A C = M A$ .
3Значит, $M A = M C = M P = M O$ , и точки $A$ , $O$ , $P$ , $C$ лежат на окружности с центром $M$ .
4Точки $A$ и $O$ лежат на стороне $A B$ , поэтому они находятся по одну сторону от прямой $B C$ , то есть от прямой $C P$ . Вписанные углы $C O P$ и $C A P$ опираются на одну и ту же дугу $C P$ , поэтому $∠ C O P = ∠ C A P$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)