Две окружности пересекаются, докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны: задание 24 ОГЭ по математике
Каждый центр равноудалён от двух общих точек, ведь это радиусы. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре. Оба центра лежат на этом перпендикуляре, а через две различные точки проходит одна прямая. Значит, прямая центров и есть серединный перпендикуляр к общей хорде. Пример: MS = MT как радиусы одной окружности, NS = NT как радиусы другой. Значит, M и N лежат на серединном перпендикуляре к ST.
3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.
Как решать задание 24 ОГЭ: линия центров перпендикулярна общей хорде
Запиши равенство радиусов для первой окружности.
Сделай вывод, что первый центр лежит на серединном перпендикуляре.
Повтори для второго центра.
Сошлись на единственность прямой через две точки.
Где ошибаются.Ссылаются на прямое свойство: «точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов». Здесь нужно обратное: точка, равноудалённая от S и T, лежит на серединном перпендикуляре к ST.
Как проверить ответ.Проверь три звена: MS = MT и NS = NT как радиусы, каждое равенство ставит центр на серединный перпендикуляр, M и N различны. Прямая через две точки одна.
Правило:
Три условия признака равенства, каждое с причиной; точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.
Прототипы банка ФИПИ: 6BB457, B32AEC, C60AED, 40EA31
Примеры с решением
Пример 1
Окружности с центрами в точках J и I пересекаются в точках A и B, причём точки J и I лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые JI и AB перпендикулярны.
Ответ и решение
Чертёж: две окружности, отрезок AB.
1JA=JB как радиусы окружности с центром J. Точка J равноудалена от концов отрезка AB, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
2Аналогично IA=IB как радиусы окружности с центром I, и точка I тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
3Точки J и I различны (окружности с общим центром не могут пересекаться в двух точках, не совпадая), а через две точки проходит единственная прямая. Значит, прямая JI является серединным перпендикуляром к отрезку AB, и JI⊥AB.
Пример 2
Окружности с центрами в точках F и E пересекаются в точках D и C, причём точки F и E лежат по одну сторону от прямой DC. Докажите, что прямые FE и DC перпендикулярны.
Ответ и решение
Чертёж: две окружности, отрезок DC.
1FD=FC как радиусы окружности с центром F. Точка F равноудалена от концов отрезка DC, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DC.
2Аналогично ED=EC как радиусы окружности с центром E, и точка E тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DC.
3Точки F и E различны (окружности с общим центром не могут пересекаться в двух точках, не совпадая), а через две точки проходит единственная прямая. Значит, прямая FE является серединным перпендикуляром к отрезку DC, и FE⊥DC.
Пример 3
Окружности с центрами в точках O и Q пересекаются в точках A и B, причём точки O и Q лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые OQ и AB перпендикулярны.
Ответ и решение
Чертёж: две окружности, отрезок AB.
1OA=OB как радиусы окружности с центром O. Точка O равноудалена от концов отрезка AB, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
2Аналогично QA=QB как радиусы окружности с центром Q, и точка Q тоже лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
3Точки O и Q различны (окружности с общим центром не могут пересекаться в двух точках, не совпадая), а через две точки проходит единственная прямая. Значит, прямая OQ является серединным перпендикуляром к отрезку AB, и OQ⊥AB.
Реши такое сам
Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.
