Задание 24 · часть 2 · 2 балла · сложный

Стороны вписанного четырёхугольника продолжены, докажите подобие: задание 24 ОГЭ по математике

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника 180°. Внешний угол при вершине смежен внутреннему, поэтому он равен противоположному внутреннему углу. У двух треугольников общий угол при точке пересечения продолжений. Подобие по двум углам. Скажи, в каком порядке лежат точки на прямых, чтобы смежные углы были названы верно. Пример: CD и AB пересекаются в N, C лежит между N и D. Тогда $∠ N C B = 180^{\circ} - ∠ B C D = ∠ B A D$ , и с общим углом N треугольники NCB и NAD подобны.

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: продолжения сторон вписанного четырёхугольника

Определи порядок точек на продолжениях сторон.
Запиши свойство вписанного четырёхугольника.
Найди внешний угол через смежный и сравни с противоположным.
Докажи подобие по двум углам.

Где ошибаются. Путают порядок вершин в подобии. Угол NCB равен углу NAD, поэтому C соответствует A, а B соответствует D. Отсюда $\frac{N C}{N A} = \frac{N B}{N D}$ , а не $\frac{N C}{N D}$ .

Как проверить ответ. Из верного подобия выходит $N C \cdot N D = N B \cdot N A$ , это свойство двух секущих из одной точки. Если получилось другое произведение, вершины сопоставлены неверно.

Правило

Вписанные углы на одну дугу равны; в вписанном четырёхугольнике

∠ A + ∠ C = 180^{\circ}

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Вписанные углы и вписанный четырёхугольник.

Прототипы банка ФИПИ: B81A7C, 9B683D

Примеры с решением

Пример 1

Известно, что около четырёхугольника

A B C D

можно описать окружность и что продолжения сторон

C D

A B

четырёхугольника пересекаются в точке

N

. Докажите, что треугольники

N D A

N B C

подобны.

Ответ и решение

1Можно считать, что точка $C$ лежит между точками $D$ и $N$ , а точка $B$ между точками $A$ и $N$ (см. рисунок). Другой случай сводится к этому переобозначением $D \leftrightarrow C$ , $A \leftrightarrow B$ : условие и доказываемое утверждение при этом не меняются.
2Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ : $∠ D A B = 18 0^{\circ} - ∠ D C B$ .
3Углы $N C B$ и $D C B$ смежные, поэтому $∠ N C B = 18 0^{\circ} - ∠ D C B$ . Значит, $∠ N C B = ∠ D A B = ∠ N A D$ .
4У треугольников $N D A$ и $N B C$ угол $N$ общий, а $∠ N A D = ∠ N C B$ . Значит, треугольники $N D A$ и $N B C$ подобны по двум углам.

Пример 2

Известно, что около четырёхугольника

K L M N

можно описать окружность и что продолжения сторон

M N

K L

четырёхугольника пересекаются в точке

P

. Докажите, что треугольники

P M L

P K N

подобны.

Ответ и решение

1Можно считать, что точка $N$ лежит между точками $M$ и $P$ , а точка $K$ между точками $L$ и $P$ (см. рисунок). Другой случай сводится к этому переобозначением $M \leftrightarrow N$ , $L \leftrightarrow K$ : условие и доказываемое утверждение при этом не меняются.
2Четырёхугольник $K L M N$ вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ : $∠ M L K = 18 0^{\circ} - ∠ M N K$ .
3Углы $P N K$ и $M N K$ смежные, поэтому $∠ P N K = 18 0^{\circ} - ∠ M N K$ . Значит, $∠ P N K = ∠ M L K = ∠ P L M$ .
4У треугольников $P M L$ и $P K N$ угол $P$ общий, а $∠ P L M = ∠ P N K$ . Значит, треугольники $P M L$ и $P K N$ подобны по двум углам.

Пример 3

Известно, что около четырёхугольника

K L M N

можно описать окружность и что продолжения сторон

K N

L M

четырёхугольника пересекаются в точке

H

. Докажите, что треугольники

H N M

H L K

подобны.

Ответ и решение

1Можно считать, что точка $K$ лежит между точками $N$ и $H$ , а точка $L$ между точками $M$ и $H$ (см. рисунок). Другой случай сводится к этому переобозначением $N \leftrightarrow K$ , $M \leftrightarrow L$ : условие и доказываемое утверждение при этом не меняются.
2Четырёхугольник $K L M N$ вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ : $∠ N M L = 18 0^{\circ} - ∠ N K L$ .
3Углы $H K L$ и $N K L$ смежные, поэтому $∠ H K L = 18 0^{\circ} - ∠ N K L$ . Значит, $∠ H K L = ∠ N M L = ∠ H M N$ .
4У треугольников $H N M$ и $H L K$ угол $H$ общий, а $∠ H M N = ∠ H K L$ . Значит, треугольники $H N M$ и $H L K$ подобны по двум углам.

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)