Задание 24 · часть 2 · 2 балла · сложный

Биссектрисы двух углов четырёхугольника пересекаются на стороне, докажите: задание 24 ОГЭ по математике

Опусти из точки перпендикуляры на три прямые: их длины и есть расстояния. Для каждой биссектрисы получи пару прямоугольных треугольников с общей гипотенузой и равными острыми углами. Они равны по гипотенузе и острому углу, отсюда равны перпендикуляры. Средняя прямая общая для обоих углов и связывает два равенства в цепочку. Если биссектрисы углов D и A сходятся в O на BC, первая даёт равенство расстояний до CD и AD, вторая до AD и AB. Сторона AD общая для обоих углов.

Все типы задания 24

Реши сам, как на ОГЭ

3 задания этого типа с проверкой ответа и решением. Числа каждый раз новые.

Как решать задание 24 ОГЭ: точка на биссектрисах равноудалена от прямых

Опусти перпендикуляры из точки на три прямые.
Докажи равенство первой пары прямоугольных треугольников.
Докажи равенство второй пары.
Свяжи равенства через общий перпендикуляр.

Где ошибаются. Называют не тот признак равенства прямоугольных треугольников, например по двум катетам. Известны общая гипотенуза и равные острые углы, значит, признак по гипотенузе и острому углу.

Как проверить ответ. Собери цепочку: расстояние до CD равно расстоянию до AD, а оно равно расстоянию до AB. Проверь, что средний перпендикуляр в обоих равенствах один и тот же.

Правило

Три условия признака равенства, каждое с причиной; точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.

Решение оценивают от 0 до 2 баллов: критерии ФИПИ для заданий 20–25 →

Приём из разбора задания 24: Равные треугольники и равноудалённые точки.

Прототипы банка ФИПИ: 632804, 730010, 991A27, D57685

Примеры с решением

Пример 1

Биссектрисы углов

A

B

четырёхугольника

A B C D

пересекаются в точке

L

, лежащей на стороне

C D

. Докажите, что точка

L

равноудалена от прямых

A D

A B

B C

Ответ и решение

1Опустим из точки $L$ перпендикуляры $L P$ , $L Q$ и $L H$ на прямые $A D$ , $A B$ и $B C$ . Их длины равны расстояниям от точки $L$ до этих прямых.
2Прямоугольные треугольники $A P L$ и $A Q L$ имеют общую гипотенузу $A L$ , а $∠ P A L = ∠ Q A L$ , так как $A L$ биссектриса угла $A$ . Значит, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу, и $L P = L Q$ .
3Аналогично прямоугольные треугольники $B Q L$ и $B H L$ имеют общую гипотенузу $B L$ и $∠ QB L = ∠ H B L$ , так как $B L$ биссектриса угла $B$ . Поэтому они равны по гипотенузе и острому углу, и $L Q = L H$ .
4Итак, $L P = L Q = L H$ , то есть точка $L$ равноудалена от прямых $A D$ , $A B$ и $B C$ .

Пример 2

Биссектрисы углов

M

N

четырёхугольника

K L M N

пересекаются в точке

F

, лежащей на стороне

K L

. Докажите, что точка

F

равноудалена от прямых

L M

M N

K N

Ответ и решение

1Опустим из точки $F$ перпендикуляры $F E$ , $F O$ и $F P$ на прямые $L M$ , $M N$ и $K N$ . Их длины равны расстояниям от точки $F$ до этих прямых.
2Прямоугольные треугольники $M E F$ и $M O F$ имеют общую гипотенузу $M F$ , а $∠ E M F = ∠ O M F$ , так как $M F$ биссектриса угла $M$ . Значит, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу, и $F E = F O$ .
3Аналогично прямоугольные треугольники $N O F$ и $N P F$ имеют общую гипотенузу $N F$ и $∠ O N F = ∠ P N F$ , так как $N F$ биссектриса угла $N$ . Поэтому они равны по гипотенузе и острому углу, и $F O = F P$ .
4Итак, $F E = F O = F P$ , то есть точка $F$ равноудалена от прямых $L M$ , $M N$ и $K N$ .

Пример 3

Биссектрисы углов

A

D

четырёхугольника

A B C D

пересекаются в точке

E

, лежащей на стороне

B C

. Докажите, что точка

E

равноудалена от прямых

A B

A D

C D

Ответ и решение

1Опустим из точки $E$ перпендикуляры $E K$ , $E R$ и $E Q$ на прямые $A B$ , $A D$ и $C D$ . Их длины равны расстояниям от точки $E$ до этих прямых.
2Прямоугольные треугольники $A K E$ и $A R E$ имеют общую гипотенузу $A E$ , а $∠ K A E = ∠ R A E$ , так как $A E$ биссектриса угла $A$ . Значит, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу, и $E K = E R$ .
3Аналогично прямоугольные треугольники $D R E$ и $D QE$ имеют общую гипотенузу $D E$ и $∠ R D E = ∠ Q D E$ , так как $D E$ биссектриса угла $D$ . Поэтому они равны по гипотенузе и острому углу, и $E R = E Q$ .
4Итак, $E K = E R = E Q$ , то есть точка $E$ равноудалена от прямых $A B$ , $A D$ и $C D$ .

Реши такое сам

Новые числа каждый раз, проверка ответа и решение после.

Другие типы задания 24

Все 15 типов задания 24 →

Обновлено 5 октября 2026 · по открытому банку ФИПИ и проекту демоверсии ОГЭ 2027 (26.08.2026)